(Prologus)
Practicam geometrie nostris tradere conatus sum, non quasi nouum cudens opus sed uetera colligens dissipata. Quisque uidelicet pro se, ego prisci temporis uiros miraculo dignos existimo, quibus tanta vis tantusque perspiciendi uerum amor inerat ut eos neque labor durus ab inquisitionis studio frangere aliquando potuisset nec ab inuentionis effectu difficultas ulla propulsaret. Propter quod factum est ut cum multa miranda et pene incredibilia ratione duce per acumen mentis potenter apprehenderunt, magna quoque in rebus minimis exempla sapientie prestarent. Hoc  ergo est quia eos studio equare non possumus, illud tamen omnino turpe fit si imitari fastidimus. Et de his quidem hactenus dixisse sufficiat; nunc ad propositum conuertamur.
(Prenotanda)
 Omnium dimensionum tria genera sunt; longitudo, latitudo, altitudo . Et longitudo quidem apud geometres linea dicitur, latitudo uero superficiei nomen accepit, altitudo autem proprio nomine soliditas appellatur. In his tribus dimensionum generibus omnis geometrice discipline consideratio uersatur. Linea est cum a quolibet dato puncto ad quodlibet datum punctum porrectio Que porrectio in quancumque partem fiat, hoc est siue
ante siue retro, siue dextrorsum siue sinistrorsum, siue surs siue deorsum, nihil ad naturam linee proprietatemque complen dam interest, si tamen sola porrectio fiat . Omne enim punctum potestatem habet, ut ab ipso in omnem partem linea exeat in ipsum ab omni parte linea descendat, idemque ad omnem partem medium constat et unum, quod, si omnes lineas ab ipso puncto in omnem partem exeuntes extrinsecus circumferentia excipiat, fit centrum circuli ipsum punctum. Nam omnes linee a puncto exeuntes potestatem habent ad omnem punctum circum¬ferentiam accipere, et omnis circumferentia potestatem habet in suum centrum equas ex omni parte lineas deducere.
 Superficies est  cum cuilibet date linee alia linea una uel plures in latere adiunguntur et latitudinem explicant . Soliditas est cum superficiei cuilibet alia superficies una uel plures superponuntur et altitudinem extollunt, cuius longitudo est in punctis, latitudo in lineis, altitudo in superficiebus . Metitur autem longitudo in lineis punctorum, latitudo in punctis linearum, altitudo in punctis superficierum.
His breuiter prelibatis, deinceps considerandum est quod omnis geometrica disciplina aut theorica est, id est speculatiua, aut pmc tica, id est actiua . Theorica siquidem est que spacia et inter ualla dimensionum rationabilium sola rationis speculatione tigat, practica uero est que quibusdam instrumentis agitur ex aliis alia proportionaliter coniciendo diiudicat.
Huic practice tria uidentur genera attributa, hoc est altimetria, planimetria, cosmimetria, in quibus tamen omnibus maxime linea¬rum dimensionem uestigat . Et ad altimetriam quidem per¬tinet ea porrectio que sursum et deorsum fit; ad planimetriam au¬tem illa que fit ante et retro, dextrorsum siue sinistrorsum; ad cosmimetriam uero ea que in circumferentia constat. Hinc nam¬que altimetria  dicta est quod sublime siue profundum uestigat, propterea quod, sicut mutuato nomine nonnumquam sublime pro¬fundum dicitur, sic uicissim aliquando et profundum altum soleat appellari, quemadmodum mare altum et celum profundum dicere solemus. Conuenient sane pro eo quia omne quod a summo deorsum siue ab imo sursum in longinquum tenditur, idem ipsum conuerso ordine attentum altum pariter et profundum inuenitur. Planimetria  appellata uidetur quando porrectionem secundum planum persequitur. Cosmimetria autem ab eo quod et cosmus nomen accepit. Cosmus enim grece mundus dicitur, et inde cos¬mimetria dicta est quasi mensura mundi, ea uidelicet que circumferentiam metitur, quam in ambitu celestis spere et reliquorum circulorum eelestium nec non in globo terre, multorum etiam aliorum que natura in orbem disposuit, consideramus.
Operosa sane materia, in inuestigatione mirabilis et iocunda in exercitatione, cuius scientiam inexperto supra  fidem
uidetur promittere, perito facile constat. Nobis itaque propositu^ est practicam geometrie secundum hec tria genera, id est altimetriam, planimetriam, cosmimetriam, tractare, et singulis generibus, quibus instrumentis, ad id quod propositum fuerit metiendum, mensorem uti oporteat ostendere, et qua ratione, ex his que ad quamlibet rem propositam metiendam formata fuerint instrumentis, eius que metienda est rei quantitas comprehendatur demonstrare.
Sed ad hoc prius breue quoddam exemplar formabimus, in quo. eorum que dicturi sumus postmodum sat mira ratione formam modumque exprimamus. Hoc autem est triangulum orthogonium , tribus tantum lineis, id est basi, katheto, et hypotenusa comprehensum, ex quarum respectu et mutua com¬paratione omne quod propositum fuerit, siue in planum, siue in altum, siue in profundum, siue in orbem metiendum, facile ei qui i huius tantum formule naturam perspexerit deprehendi potest.
	Sit itaque triangulum orthogonium, cuius basis est linea inferius secundum planum directa iacens; kathetus autem linea a fine iacentis in directum eleuata, ita ut in neutram partem inclinetur et, ubi iacentem contingit, angulum rectum efficiat;
 hypotenusa uero linea a summitate katheti ad terminum iacentis linee, id est basis, eminus ex aduerso constitutum oblique descen¬dens et utrimque angulum acutum efficiens hoc modo.
Huius trianguli natura est ut omnia latera numquam paria habere possit, imparia autem aliquando omnia, nonnumquam  ^uo Paria, id est basim et kathetum, tertium, id est hypotenusam* semper impar. Quadratum uero  quod basi per kathetum multi¬
plicate describitur, semper duplum esse contingit triangulo ipso quod sub basi et katheto atque hypotenusa continetur .
Multa sunt alia que de huius trigoni natura dici poterant, que alias diligentius inuestiganda sunt.
Nunc uero considerandum est quomodo in hac trianguli figura omnium dimensionum ratio consistat. Oportet ergo totius mundi formam huic quodam artificio adaptare, et quemadmodum in speculis solent magnorum corporum effigies uultus exigui presentare et sicut a paruis rursum imaginibus ad magna corpora eadem similitudo sese consuevit sine discrepantia trans¬fundere, ita nunc quoque fieri oportet ut ingentia illa spacia, que humana per se possibilitas comprehendere non sufficit, ratione ma¬gistra ad exiguum exemplar deducat, et sic quodammodo sub scientiam coarceat.
Igitur spera mundi , que uniuerso suo ambitu complectitur terram quasi centrum medio collocatam, equali undique distantia circuit et, sua conuexitate in omnem partem quodammodo curuata, nobis in superficie terre stantibus eminus circumquaque cum ipsa terra quasi continuari coniungique uidetur, non quod ita se res habeat sed quia uisus, qui in directum tenditur, eam que altrinsecus est distantiam non discernat.
Circulum autem, in quem uisionis radius ex omni parte pro¬currens terminatur, ubi et ipsa, sicut dictum est, spera celestis cum terre superficie quasi uniri cernitur, orizontem  appel¬lant, id est limitatorem, eo quod in ipsum uisio extensa limitetur et quodammodo ultra prohibeatur extendi.
Est igitur orizon circulus terre superficiem, que prospectui patet, includens, cui supersidet emisperium celi, a cuius medio, id est > a centro, si in quatuor partes usque ad circumferentiam circuli rectas lineas deducamus, inquatuor partes ipsum orizontem diuidimus.
Deinde si secundum emisperii conuexitatem a finibus utriusqUe diametri in oppositum per medium uerticem circumferentiam du¬cimus, ipsum quod superest emisperium altrinsecus et quod sub*  terius est similiter in geminos utrobique quadrantes partimur , Post hec a medio centro orizontis usque ad uerticem katheto erecto ex omni parte trigonum orthogonium exurgere uidemus. Et si eadem linea per medium centrum transiens ad illum uerticem qui subterius de contra est descenderit, alios totidem similis forme  triangulos in parte altera figurari non dubitamus hoc modo 
 Erit itaque ab oriente usque ad uerticem unus triangulus, cuius kathetus est linea a centro orizontis in uerticem emisperii erecta, basis autem linea a centro in circumferentiam secundum planum, id est superficiem terre, protensa, hypotenusa uero linea
 a fine basis, ubi circumferentiam tangit, id est ab orizonte, usque ad summum katheti quod est a uertice, secundum ambitum  emisperii eleuata.
Item a uertice usque ad occidentem alter trigonus apparet, inter occidentem subtus et uerticem tertius, inter uerticem subterio rem et orientem quartus. Rursum a septentrionali plaga orientia idem occurit. Nam illic similiter inter orizontem et uerticem superiorem unus triangulus ostenditur, et inter hoc et a uertice usque ad orizontem  meridianum alter inclinatur. Postea ab orizonte meridiano usque ad uerticem subterius tertius con* stituitur, et ab inde usque ad orizontem septentrionalem quartus demonstratur hoc modo 
 Octo itaque trigonos altrinsecus ambitum celi secundum orizontem et uerticem utrumque distinguentes formamus eiusdem forme atque mensure, ex quibus duo et duo ad eandem basim des
 cribuntur, quatuor autem pariter eundem kathetum circumstant, sola hypotenusa ubique alia.
Et, ut in unum totum huius forme scema componamus, tres circuli ibi sunt, quorum unus secundum positionem suam iacens speram celi sursum et deorsum diuidit, et circuit secundum mar ginem terre ab oriente per aquilonem et occidentem et meridiem in orientem. Alius ab oriente per uerticem superiorem in occi¬dentem flectitur, et ab occidente per inferiorem uerticem in orien¬tem recuruatur. Tertius a septentrione per uerticem superiorem in meridiem ducitur, et a meridie per uerticem inferiorem transiens  ad septentrionem reuocatur.
Tres quoque linee recte, per medium centrum a circumferentia in circumferentiam secundum rationem diametri deducte, alia ab oriente in occidentem, alia a septentrione in* meridiem, alia a superiori uertice ad inferiorem, singulos circulos in quatuor  quadrantes diuidunt equos, quorum singuli XC de CCCLX gra¬dibus totius ambitus firmamenti continent.
Quatuor autem superiores trianguli circa eundem kathetum describuntur et quatuor inferiores similiter. Basim autem com¬munem habent duo et duo, qui ab oriente ad uerticem sursum et  deorsum, et qui ab occidente ad uerticem sursum et deorsum et qui ab aquilone ad uerticem sursum et deorsum, et qui a meridie ad uerticem sursum et deorsum . Hypotenusa uero, que a partibus quatuor ad uerticem ducitur, anabibazon, quod interpretatur sursum scandens, appellatur.
 In his autem trigonis orthogoniis hoc considerandum est quod si due quelibet linee de his tribus, que rectos angulos altrinsecus circumscribunt, in quamlibet partem ad se inclinate fuerint, duos sibimet ex aduerso oxigonios et duos ambligonios trigonos for¬mabunt sic 
 Sed et illud quoque addendum est quod in omni trigono ortho gonio, si kathetus interius orthogonaliter erigatur, quamcunque par. tem basis et hypotenuse apprehenderit, eandem quam kathetus maior ad suam basim et hypotenusam proportionem habet, et ipse ad suam basim et hypotenusam habebit hoc modo 
Etiam si subterius quocumque loco hypotenuse appensum tri¬gonum orthogonium aliud ad aliam basim describatur, in eadem tamen proportione permanebit, quia omnia triangula orthogonia que sub eadem hypotenusa describuntur, in eadem proportione esse necesse est hoc modo 
Hec latius persecuti sumus, ut lectoris animus his quasi quibusdam introductorii rudimentis incitatus, ea que dicenda sunt facilius capere possit. Deinceps ipsam rem aggrediamur prosequendam, ac primum de altimetria que dicenda uidebuntur expediamus.
(I. De altimetria)
 Quodcumque eminens in prospectu constitutum fuerit trian¬guli formam effingit, cuius kathetus ipsa altitudo est, basis autem planities, que a radice katheti in directum eousque protenditur quo naturaliter ipsa eminens altitudo visum admittit. Ex eo namque loco ubi prospectus primum emergentem eminus altitu¬dinem comprehendit, triangulus se format, cuius kathetus, ut dictum est, ipsa altitudo est eminens constituta, basis planities, hypotenusa uisus a fine basis in cacumen altitudinis porrectus.
) Sed ubi primum oculo humi apposito uisui iam mergens se altitudo subducere incipit, in eodem loco basis trigoni  simul et hypotenusa finem sorciuntur.
 Omnis ergo mensura altitudinis inter orizontem et uerticem et rursum inter uerticem et orizontem siue in eleuatione siue in
P depressione discurrit, et omnis mensura profunditatis inter orizon¬tem et uerticem eum qui de contra subterius est et item inter uer¬ticem et orizontem siue in depressione siue in eleuatione consistit.
Et rursum omnis mensura circumferentie secundum anabibazontema, qui a IIII partibus ab orizonte surgit ad uerticem, deprehenditur, et omnis porrectio plani in basi, que ab orizonte ex omni parte ad katheti radicem porrecta est, inuenitur.
Trigonus autem, intra quem istarum dimensionum ratio omnis continetur, secundum accessionem eousque katheto crescente exurgit donec attacto uertice in basi et hypotenusa deficiat, secundum recessum autem solo katheto decrescente, eousque descendit quousque duabus reliquis pereuntibus sola basis remaneat.
Quemadmodum ergo trigoni forma primum a basi exurgens in katheto deficit, sic de contra a katheto inchoans in solam tantumdem basim descendit, illic solo katheto crescente donec basis simul et hypotenusa deficiat, hic solo katheto decrescente donec basis sola katheto simul et hypotenusa pereunte remaneat tantumdem naturaliter eadem altitudine restante," cum primum uideri incipit, quantum postea, cum se occidens uisioni subducit, medio inter utrunique finem uertice constituto.
Quia ergo ab orizonte usque ad medium desuper uerticem secun¬dum eleuationem anabibazontis quadrans circuli est, ab eodem autem orizonte deorsum usque ad medium centrum ipsius dimidia pars diametri, omnis autem circuli pars quarta ad dimidiam partem diametri eiusdem superquadripartiens septimas esse pro batur, si katheto et basi, quas secundum rationem circuli pares esse necesse est pro eo quod de eodem centro ad eandem circum¬ferentiam exeunt, secundum rectam lineam hypotenusam dedero, minorem eam quadrante circuli probabo sic 
 Quod si altrinsecus ad eandem basim alium kathetum erexero, cum diagonales  medio se intersecare ceperint, kathetos pares esse necesse est, et sunt duo triangula altrinsecus constituta  paria ad eandem basim sic 
Si uero infra medietatem diagonales se intersecant, secundus kathetus, qui ex aduerso erectus est, minor esse probatur sic 
Si supra medium diagonales linee se intersecauerint, maior ita  Et deinceps secundum sectionem diagonalium pro¬portio constat inter utrumque kathetum. Quisquis horum trian¬gulorum rationem recte prospexerit, ea que deinceps precepta mensurandi daturi sumus sine magna difficultate intelligere ualebit.
 Quia inter omnia instrumenta mensorum astrolapsus  principalis esse probatur, idcirco per omnia genera metiendi ipsum premittere oportet. Est itaque in ipso, id est in postica eius pla¬nicie , quadratum equilaterum formatum subterius sub linea mediana inter occidentem et uerticem antipodum ad geometricales
) mensuras ualde necessarium, quod hoc modo describitur.
Primum tres quadrantes totius circuli, id est ille qui inter occi¬dentem est subterius et uerticem in quo quadratum ipsum forman¬dum est, et duo alii, qui sunt altrinsecus ex utraque parte huius, alter ab occidente sursum, alter ab oriente deorsum, singuli in duas equas
> partes diuiduntur, et punctis in medio positis a puncto medii ad utraque puncta altrinsecus recte linee ducantur hoc modo 
Remanet itaque in medio quadratum equilaterum, cuius duo latera in centro circuli conueniunt, alia duo per diagonum in medio circumferentie eiusdem quadrantis angulum faciunt. Reliqui duo
> anguli altrinsecus in utroque diametro circuli formantur supra et infra. Huius ergo quadrati duo latera, que angulum in cir
cumferentia quadrantis faciunt, singula in duodecim diuidimi» interius duo semper ex his sub uno interuallo complectendo in sex itidem singula partimur hoc modo 
	 Suspenso itaque contra eminentemm altitudinem astrolap
su et alhidada  ad cacumen eiusdem altitudinis erecta, duo triangula altrinsecus paria exurgunt, unum sub linea mediana, que uicem orizontis tenet, aliud  desuper e diuerso, et in utroque mediclinii directionem hypotenusa designat, contraria  tamen positione.
In eo namque triangulo quod supra orizontem est kathetus quodammodo magis naturam imitans sursum erectus stat, basis uero subtus iacens cum hypotenusa in centro circuli angulum facit, et est ipsa linea mediana basis. In altero autem triangulo,
 quod sub linea mediana de contra formatur, ipse ordo nature quo¬dammodo peruersus per contrarium respondet, quemadmodum in aquis vel in speculis rerum forme mutato ordine redduntur. In eo namque kathetus a linea mediana, que hic quoque uicem basis tenet, deorsum pendens cernitur, ita ut hypotenusa, que  alium kathetum sursum ad uerticem tangit, recto ductu trans¬missa huic deorsum coniungatur, tantum hic sub linea mediana depressa quantum illic supra illam eleuata.
Contingit ergo tria uidere triangula, duo in instrumento, que paria sunt altrinsecus ex aduerso constituta, tertium in re,  cuius kathetus est altitudo metienda, basis uero linea secundum superficiem terre a radice altitudinis usque ad stationem mensoris
porrecta, hypotenusa autem uisus ab oculo mensoris ad cacumen altitudinis.
Hoc autem triangulum, licet duobus reliquis quantitate multum  dispar inueniatur, proportione tamen consimili utrique concor¬dare cognoscitur. Nam per regulam que superius data est, scilicet quod in omni trigono orthogonio, si kathetus interius orthogonaliter erigatur , quamcumque partem basis et hypothenuse appre¬henderit, eandem quam kathetus maior ad suam basim et hypo tenusam proportionem habet et ipse ad suam basim et hypotenusam habebit, probatur in eo trigono quod in superiori quadrante constat eandem kathetus cum sua basi proportionem habere quam eminus constituta altitudo habuerit ad suam basim proportionem. Ipsa siquidem linea, ab oculo mensoris usque ad radicem altitudinis lio porrecta, basis est maioris trigoni. Si ergo supra eam quolibet loco secundum cacumen altitudinis metiende kathetus erigitur, certum est quia eam proportionem quam habet pars ipsius, que pro basi a katheto minori infra deprehenditur, ad ipsum kathetum, eandem ipsa tota ad kathetum  maiorem, id est ad  altitudinem metiendam, habet proportionem.
Sed quia trigoni superioris kathetus partem maioris basis quam infra deprehendit non totam pro basi complectitur sed, medietate tantum retenta, alteram subteriori triangulo quod ex aduerso formatur relinquit, altiori consideratione res indiget. Ponamus  itaque altitudinem eminus metiendam et, subleuato contra eam astrolapsu, ab ipsa mediana linea ducamus basim usque ad radi¬cem altitudinis que constat in margine orizontis, eique hypotenusam desuper adducamus a cacumine altitudinis ad uisum metientis sic 
		Hoc autem sine respectu mediclinii  primum fieri opr
tet, ut postea qualiter ad eam partem basis quam ambitus ij strumenti apprehendit kathetus secundum proportionem maioris trigoni erigatur appareat. Constat autem quod, si mediclinium in eo loco axem susciperet ubi in basim hypotenusa descendit  et inde secundum eiusdem hypotenuse porrectionem ex altera parte ad cacumen rei metiende leuaretur, kathetus ad uerticem mediclinii erectus et maior esset et maiorem intra ad trigonum formandum basim contineret. Nunc autem quia mediclinium in medio diametri axem suscipit ita ut dum in parte altera leuatur,  in altera parili promotione descendat, in quantum a basi extrinsecus diuidit, in tantum a katheto sursum procedit, hoc modo 
 Hinc ergo est quod mediclinium ab axe medio leuatum eiusdem proportionis trigonum constituit. Cuius quidem pro¬portionis trigonum formaretur si a finibus magne basis et hy potenuse leuatum fuisset ad cacumen eiusdem rei metiende, et kathetum in eodem quo nunc constitutus est loco ex aduerso suscepisset.
Consequenter ergo omnes isti trianguli in eadem proportione constare probantur, ita ut in quolibet horum triangulorum que  mediclinium altrinsecus format, qua proportione basis se ad ka¬thetum suum habuerit, eandem sine omni dubitatione spacium quod inter mensorem et altitudinem metiendam interiacet ad ipsam altitudinem comparationem habere pronuntiari possit.
Et hoc quidem  theorema formatur cum altitudo in  extremis labris orizontis prominet. Cum autem introrsum consti¬tuta est, mediana basi magne non respondet, sed triangulum instrumenti subtus ad maiorem hypotenusam appensum est ct
ad aliam basim constitutum, in eadem tamen proportione. Et statura mensoris ad basim magnam retrorsum proportionaliter adi cienda est siue ad altitudinem metiendam simpliciter, ut trigonii forma compleatur secundum porrectionem maioris hypotenuse, hoc modo 
 Sciendum est autem quod in re per accessum siue re¬cessum basis mobilis est, kathetus immobilis; in instrumento  autem utrobique, conuerso tamen ordine et eadem proportione, primo quidem kathetus mobilis et basis immobilis, deinde basis mobilis et kathetus immobilis est. Propterea numerus graduum, qui supra mediclinium est, in dextro latere cum toto ipso latere quadrati comparatur ita ut, illo latere quadrati quod uicem ba sis gerit in eodem semper numero permanente, quantitas katheti permutetur secundum accessionem uel recessionem mensoris.
Cum autem mediclinium in medio quadrati steterit, altitudo cum basi sua equalis erit, et cum ultra prodierit, tunc uersa uice, supercrescente katheto quod infra est, cum toto latere quadrati  confertur, eandemque basis cum katheto proportionem habere dinoscitur.
Iam uero tempus est ut his expeditis que de natura instrumenti dicenda erant, ad mensurandi precepta ueniamus. Et primum dicemus quemadmodum altitudinis cuiuslibet in plano consti tute mensura comprehendi possit.
	Sit igitur quelibet altitudo in equali planitie constituta. Taliter huius mensuram uestigamus. Sumit altimetra astrolapsum et mediclinium constituit in medio quadrati. Post hec, leuato contra ipsam altitudinem metiendam astrolapsu, ante et retro  tamdiu estimando pergit quousque per iitrumque mediclinii foramen
cacumen altitudinis contempletur . Quo uiso, eandem altitudinem spacio quod inter suam stationem et altitudinem interiacet equalem pronuntiat, statura mensoris adiecta.
 Sed quia de statura adicienda basi mentionem fecimus,   quod sit statura mensoris et qualiter ad mensuram adicienda sit breuiter expediemus . Staturam mensoris dicimus altitudinem stature eius a terra usque ad oculum unde radius uisionis emittitur, pro qua altimetre uirgam eiusdem quantitatis paratam habere solenta ad expeditiorem operandi prouentum.
 Hec, si basi adicitur, non semper uno modo adicienda est. Tantum enim spacii retrorsum ad basim maioris trigoni semper adiciendum est quantum hypotenusa, que a summitate altitudinis ad oculum tenditur mensoris, si secundum suum ductum post tergum in ulteriora proiceretur, infra comprehenderet. Tunc  siquidem post tergum mensoris rursus aliud triangulum forma¬retur, cuius kathetus esset ipsa statura mensoris et basis adiectio. Et quia hoc triangulum cum ceteris proportionale esse debet, adiectionis mensura secundum proportionem instrumenti quod ante statutum est sumatur, scilicet ut eandem ad staturam men soris proportionem adiectio habeat quam basis instrumentalis trigoni ad kathetum suum habet.
 Si autem uolueris, loco non mutato, inde ubi primum steteris altitudinis coram posite mensuram comprehendere, sic facies, Sumes astrolabium et, subleuato eo contra altitudinem metiendam.
° mediclinium torquendo coaptabis quousque per utrumque foramen summitatem altitudinis uideas. Deinde gradus qui supra mediclinium sunt cum toto latere quadrati comparabis, eandemque proportionem
quam gradus qui supra mediclinium sunt ad totum latus qUa drati, hoc est ad duodecim, habuerint, eandem procul duh'  altitudo ipsa ad spacium quod interiacet habebit, statura mensori proportionaliter siue simpliciter adiecta.
	Quod si forte fluuii uel uallis alicuius obiectu interuallum commeabile non sit, hoc alio modo poteris proposite quantitatis mensuram inuenire. Ab eo loco in quo steteris, subleuato astrolapsu  mediclinium contra cacumen altitudinis dispone donec per utrumque foramen summitatem uideas. Postea considera subterius in latere quadrati quot gradus ipsius lateris supra mediclinium emineant quos cum gradibus totius lateris, id est XII, comparaueris. Eandem secundum supradictam regulam,  inter altitudinem et  spacium quod interiacet, cum addita statura mensoris proportionem esse pronuntiabis.
Deinde retrorsum perge quantum uidebitur et rursum in secunda statioiie astrolapsum subleua, et cum iterum per mediclinium cacumen altitudinis inspexeris, rursum gradus lateris quadrati qui  sunt supra mediclinium computa, eosdemque rursum cum toto latere quadrati confer; et qualis fuerit inuenta proportio, talis inter altum quod metiendum est et spacium interiacens cum addita statura erit. Postea cum primam et secundam basim inuicem comparaueris et quantum prima a secunda superetur inueneris,  consequenter totam prime basis quantitatem per prime et secunde differentiam, quod est prime et secunde stationis interuallum, agnoscere ualebis.
Verbi gratia, si in prima statione quatuor gradus supra mediclinium apparuerint, quia duodenarius ad quaternarium triplus est,  et spacium quod interiacet addita mensoris statura ad altitudinem triplum erit. Rursum si in secunda statione tres gradus supra mediclinium inuenti fuerint, quia duodenarius ad ternarium qua¬druplus est, spacium quoque cum adiecta statura ad altitudinem ouadrunliim 	 	
 Si autem prime stationis interuallum cum adiecta statura, quod est basis prima, ad altitudinem, que est pro katheto, triplum fuerit, et secunde stationis interuallum cum adiecta statura, quod est basis secunda, ad eandem altitudinem quadruplum, manifestum est quod basis secunda primam sesquitertia pro portione transcendit; erit ergo pars tertia prime basis spacium quo primam superat basis secunda. Cuius mensuram cum inueneris, tertio tantum primam basim continere pronuntiabis.
Sed caue ne forte hoc spacium aliquando a prima statione usque ad secundam metiendum putes, quia adiectio stature utrobique  eadem non fuit, sed potius a fine adiectionis prime, ubi terminata est basis prima, usque ad finem adiectionis secunde, ubi terminata est basis secunda, quia hoc utriusque basis differentia esse pro¬batur.
	Est adhuc alia regula in hac eadem inaccessibilis alti men suratione, in modo tantum a supradicta differens. Sumit altimetra numerum graduum qui in prima statione supra medicli nium inuenitur, et per eum summam totius quadrati, id est CXLIV, partitur. Deinde similiter per numerum graduum qui in secunda statione supra mediclinium inuentus fuerit eandem sum mam diuidit, id est CXLIV. Tunc sumpta una parte de prima diuisione et una de secunda, utrasque ad inuicem confert et, ea que minor inuenta fuerit abstracta de maiori, id quod remanet cum toto latere quadrati, id est XII, comparans, qualem inter hec duo proportionem inuenerit, talem inter altitudinem metien dam et spacium quod inter utramque stationem adiecta men¬soris utrobique statura interiacet pronuntiat.
Verbi gratia, in prima statione supra mediclinium quatuor gra¬dus inuenti sunt, per quem numerum summa totius quadrati, id est CXLIV, diuisa reperta est pars quarta XXXVI. Item in  secunda statione tribus gradibus inuentis, per ternarium rursus
tota summa quadrati diuisa est, et inuenta pars tertia XLVm Duabus igitur his partibus collatis, quarta, id est XXXVI, mino apparuit, qua de maiori, id est de XLVIII, abstracta, remansit XII, et hoc cum latere quadrati comparatum equale inuentu  est, et pronuntiatum est altitudinem cum interuallo stationum esse equalem.
Sed caue ut, quamdiu mediclinium in dextro latere steterit semper mobilem numerum katheto tribuas et immobilem basi, in sinistro autem latere mobilem basi et katheto immobilem. 	 Est etiam alia regula qua per umbram uniuscuiusque
corporis in plano dumtaxat loco stantis altitudo ipsius deprehenditur hoc modo. Sole illucescente sumit altimetra astrolapsum, et mediclinium radio solis obiectum ita disponendo coaptat ut idem radius utraque ipsius mediclinii foramina perlustret.  Tunc considerat in quadrato quot gradus supra mediclinium emineant. Quibus cum toto latere quadrati comparatis, eandem inter corpus et umbram proportionem sine ambiguitate esse pro¬nuntiat quam inter gradus supra mediclinium apparentes et latus quadrati comparatio facta demonstrat.
	 Formantur et alia quamplurima ad altitudinem in planitie
constitutam metiendam instrumenta, inter que trigonum orthogonium, quod ab inuentore pitagoricum dicitur, non inmerito principale habetur. Fit itaque trigonum  orthogonium basi kathetoque in sesquitertia comparatione aptatis compositum,  in quo nichil interest utrum basis kathetum siue kathetus basim in quantitate superet, eadem dumtaxat proportione permanente.
Hoc modo formatum instrumentum contra altitudinem me' tiendam collocatum, id est uerso ad ipsam altitudinem katheto, tamdiu a mensore huc atque illuc promoue.tur quousque oculo humi  ad finem basis apposito per summitatem katheti rei metiendo cacumen uideatur. Quo uiso, spacium quod interiacet ab oculo
mensoris usque ad radicem altitudinis ad ipsam altitudinem sesquitertium esse non dubitatur, quia in utroque triangulo eadem ratio proportionis constat.
	 Formatur et aliud trigonum orthogonium, basi kathetoque
sub eodem numero et quantitate constitutis, quod simili modo ab altimetra tali loco statuitur unde a fine basis per summitatem katheti summitas eminentis altitudinis videatur, et secundum rationem proportionis, que utrobique eadem esse debet, spacium  interiectum cum altitudine equale esse cognoscitur.
Quidam his trigonis pedes subiciunt aut manu subleuant propterea quod iniuriosum uideatur mensori totiens prosterni et oculum humi defigere. Sed quotiens hoc fit, statura mensoris retrorsum ad magnam basim proportionaliter adicienda est. Verum quo modocumque, ut libet, triangula ista formantur, eadem inter pla¬nitiem mediam et altitudinem metiendam proportio constabit que inter basim et kathetum ipsius trigoni fuerit inuenta.
 Alii harundinem duplam ad staturam suam coram se contra altitudinem metiendam statuunt, eique aliam equalem
 stature sue contra medium orthogonaliter adiungunt, ut uidelicet ea que coniungitur subdupla sit ei cui coniungitur eamque, or¬thogonaliter uice basis occurrens, dimidiam supra et dimidiam subtus dimittat. Sic compositum instrumentum tamdiu ante et retro trahunt donec per utriusque uirge summitatem cacumen  rei metiende uideant. Quo inspecto, spacium interiacens cum statura addita altitudini equale pronuntiant.
  Alii uirgam cuiuslibet quantitatis, maiorem tamen statura sua, uel locum non mutantes coram se tali in loco statuunt uel, statuta ea, tantum retrocedunt donec similiter per
 summitatem eius altitudinis cacumen metiende uideatur. Deinde spacium quod inter mensorem et uirgam stantem interiacet cum
ea parte uirge stantis que statura mensoris sursum est Parant
et eandem proportionem mter spacium quod a pede menso 
usque ad radicem altitudinis est cum adiecta statura et altitud
 nem ipsam sine ambiguitate affirmant.
Quod si spacium interiacens commeabile non sit, per secundam stationem retrorsum querendum est, sicut in astrolapsu, uel cum mutatione uirge stantis uel sine mutatione. Nam si in prima statione per summitatem uirge stantis ad cacumen altitudinis  metiende uisus directus est, oportet in secunda statione aliam constitui, sin autem sub summitate transiuit, poterit in eodem loco permanere ad secundam contemplationem 
	Alii, cum estimare uolunt altitudinem quamlibet,  utrum proposito operi congrua, sit, accipiunt uirgam cubiti unius aut  duorum siue plus aut minus, ut libet, et tantum spacii a radice altitudinis in porrectum mensurant quanta fuerit ad presens opus longitudo necessaria. Deinde tantam uirgam intra illud spacium in terram figunt ut tantum de illo spacio extrinsecus comprehen¬dant quanta est ipsa longitudo uirge. Post hec se in terram su pinos contra altitudinem deponunt tali in loco ut a fine mensurati spacii ad cacumen altitudinis metiende uisus dirigatur, et si uisus iacentis per summitatem uirge in medio stantis ad summi¬tatem estimande altitudinis transierit, competens altitudinis men¬sura erit. Si minor fuerit uirga quam ut summitati altitudinis me tiende respondeat, superflua est altitudo, si maior fuerit uirga, imperfecta.
Sic res eadem uariis modis comprobatur. Nam etsi quidam simpliciores, quibus aut census aut sensus ad hec maiora non sufficit, cum estimare altitudinem per res vel per umbram  ipsius  uolunt, stipitem tantum* in terram defigunt, et
eandem proportionem quam stipes ad umbram suam habuerit inter altitudinem quoque et umbram a se factam esse affirmant.
 Alii ipsam umbram estimande altitudinis in quotcumque partes diuidunt. Diende uirgulam, uni alicui illarum partium
 equalem, in terra defigunt, et umbram exinde cadentem cum uirgula comparant. Et si maior inuenta fuerit umbra quam uirga, quantum umbra uirgulam superat, tantum singulis partibus maio¬ris umbre subtrahunt, et quod remanet ex omnibus pro mensura altitudinis accipiunt. Si autem minor fuerit umbra quam uirga,  tantum singulis partibus minoris umbre adiciunt quantum umbra stipitis a stipite superatur, totum quod inde excrescit pro mensura altitudinis estimantes.
  Quidam etiam cum pelui uel alio quolibet uase aqua repleto mensuras altitudinum estimare solent sic: statuunt in medio
 inter se et altitudinem metiendam uas quodlibet aqua plenum, in cuius medio fundo notato centro pergunt retrorsum quousque in medio uasis, contra centrum quod positum est, cacumen rei metiende per umbram ipsius contemplentur. Quo uiso, spacium quod inter mensorem et centrum, ubi cacumen altitudinis uisum  est, interiacet diligenter mensurant, et quam proportionem illud spacium ad staturam mensoris habuerit, eandem spacium quod ex altera parte a centro eodem usque ad radicem altitudinis protenditur ad ipsam altitudinem habebit.
 Hoc idem cum speculo facere solent, uel in media area illud  statuendo uel subleuatum de contra manibus tenendo donec eodem modo per umbram altitudinis que in superficie leuigata resplendet, secundum centri positionem, mensuram rei ualeant estimare. Sed sciendum quia si speculum subleuatum fuerit in speculatione, tunc solummodo a positione ipsius speculi rursum ad comparationem sumi oportet mensurama altitudinis et staturamflb mensoris.
Et hec quidem  de altitudine in plano metiend
sufficere possunt. Nunc restat id demonstrare qualiter, cui
altitudinis, uel nobis altioribus in imo posite uel nobis subt •
 constitutis in eminentiori loco collocate, mensura comprehend’ ^
sit. Hoc quidem etsi difficilius uideatur esse, ratio u
tnitien
omnem uiam nature perlustrat, et constat nichil sine aliqu possit inueniri quod est.
	Omne igitur quod de terra emergens sursum tollitur et  uertice in altum subleuato circumiacentis plani equalitatem trans¬cendit altitudo est. Que si aliquando a loco dissimili, hoc est uel a montibus ad ualles uel a uallibus ad montes, metienda oc¬currat, primum inquirat mensor naturalem sue stationis orizontem, quem linea mediana in omni loco sine deuiatione de signat. Inuento orizonte suo, deinde consideretur locus in quo sita est altitudo metienda, quantum suo orizonti uel subsidat si infra est, uel si altior est, superemineat. Deinde adiecta altitudine metienda, totum pro katheto computet; cum proportionem to¬tius inuenerit, abscidat eminentiam collis, et quod remanet pro  mensura altitudinis reseruet. Hoc in altioribus. Ceterum quando infra sita est altitudo, erit statura mensoris ex altera parte cum eminentia collis kathetus, et sic trigonum formandum est.
Et ut manifestius fiat quod dicimus, sit altitudo metienda in colle constituta et mensor subtus in ualle positus. Subleuat  astrolapsum contra collem in quo sita est altitudo et, mediclinio super lineam medianam posito, diligenter per utrumque foramen mediclinii in latere collis oppositi locum mediane respondentem speculatur. Deinde transmisso monte, usque ad cacumen emi¬nentis alti sursum mediclinium contorquet et, totum hoc pr°  katheto supputans quod ab orizonte sursum est, siue de eminen¬tia collis siue de mensura supraposite altitudinis, eandem totum hoc ad spqcium interiectum proportionem habere asserit quam
habent gradus qui subtus in latere quadrati supra mediclinium tejjfrnt, ad totum latus comparati. Postea deponens mediclinium  contra radicem altitudinis quod est cacumen montis , iterum gradus qui supra mediclinium inuenti fuerint cum latere quadrati comparans, perpendit ad eandem basim sola montis eminentia quam teneat proportionem et quanto minor est secundus kathetus quam primus, tantum altitudini supraposite tribuendum  censet. Sed quia basis, id est spacium quod interiacet, a statura mensoris usque ad radicem katheti propter obiectam molem mon¬tis commeabile non est, retrorsum, sicut supra monstrauimus, in secunda statione mensura querenda est.
	Quod si altitudo in loco inferiori nobis altioribus posita  fuerit, subleuato astrolapsu contra eam torquetur mediclinium sub lineam medianam, uerso ad eandem partem quadrato donec per utrumque foramen ad radicem altitudinis uisus descendat, formaturque trigonum, cuius kathetus statura mensoris est cum eminentia montis, quantum extat supra planum in quo est al titudo constituta; basis est spacium quod tenditur a medio montis, id est ab imo katheti, per planum usque ad radicem altitudinis. Deinde applicato mediclinio, talis inter kathetum et basim proportio deprehenditur qualis gradibus qui supra mediclinium eminent, ad latus quadrati comparatis, inuenitur.
Et quia rursus spacium quod interiacet basi commeabile non est, fit retrorsum per planum secunda statio. Et iterum per mediclinium ad eiusdem altitudinis radicem uisus tenditur, atque iterum per numerum graduum qui supra mediclinium sunt, ad ^Um *a^us °Iuadrati comparatum, basis atque katheti proportio nestigatur. Qua inuenta, per interuallum prime et secunde stationis, sicut supra docuimus, totius basis prime et secunde
quantitas facile deprehendi potest. His peractis, mensor secunda statione uel, si magis libuerit, a prima iterum astrolapsum contra altitudinem eleuans et mediclinium non contra radicem  sed contra cacumen eiusdem altitudinis dirigens, per utrumque foramen summitatem intuetur. Postea consideratis gradibus qui supra mediclinium sunt et ad totum latus comparatis, inter ka¬thetum et basim etiam eius proportionem inquirit.
Qua inuenta, omnia superiora in unum colligens, uidet tria ) se formasse trigona tribus uicibus, in quibus semper idem kathetus fuit et basis ubique diuersa. Primum namque triangu¬lum a prima statione formatum kathetum habuit altitudinem montis cum statura mensoris, basim ab ima parte katheti qui erat subtus in fundamento montis, lineam protensam usque  ad radicem altitudinis in ualle constitute, ubi uisus in terram descendit. Secundum triangulum, quod a secunda statione for¬mabatur, parem superiori kathetum habuit, basim uero tan¬tum maiorem quantum fuit inter primam et secundam stationem. Tertium uero triangulum, quod item a prima statione formabatur,  eundem rursus cum supradictis trigonis kathetum habuit, basim uero aliam, eam uidelicet que a radice primi katheti porrigebatur usque ad eum locum ubi, ultra altitudinem in ualle constitutam, uisus per cacumen eius transiens, secundum ductum hypotenuse porrectus, in terram descendit.
Sicque prima et secunda basis eundem finem habuerunt et non idem initium, prima et tertia ab eodem katheto incipiunt sed non in eodem loco terminantur. Et quidem per secundam basim quantitas prime basis inuenta est, et per primam basim quantitas primi uel secundi katheti reperta est, nunc autem per comparatio
I. DE ALTIMETRIA
eiusdem prime basis quantitas tertie facili probatione ostendi
potest.
Igitur in hoc triangulo utriusque quantitas, hoc est, et basis et katheti, per supradicta manifeste probata est. Et quia intra hoc triangulum illud describitur cuius kathetus est altitudo supra
 dicta, hypotenusa uisus qui per cacumen altitudinis ipsius transiens in partem alteram proicitur, basis uero spacium quod extrinsecus hypotenusa deprehendit, et hoc triangulum cum maiori triangulo in eadem proportione esse oportet, eiusque basis pars maioris est, et nota, etiam kathetus eius notus erit.
	  Formatur quoddam aliud theorema ad rem quamlibet
erectam ab eminentiori loco metiendam; quod tamen ociosum est nisi altitudo montis in qua mensor stat siue per preruptum perpendiculum aut e mensura alio quocumque modo nota ha¬beatur.
 Sit itaque uallis deorsum plana et equalis, in cuius medio eminet altitudo meti enda. Sit in extremo fine eiusdem mons aut collis preruptus, cuius eminentia quantum supra equalitatem uallis subiecte eleuata sit notaa habeatur, et stet mensor desuper despiciens altitudinem metiendam ab extremo labro pre
 rupti eminentis. Post hec retrocedens paululum statuat ante se uirgam orthogonaliter erectam, minorem statura sua uel, si mauult, equalem, tali in loco ut ab eius summitate uisus perspicientis, decurrens per extremam oram eminentis prerupti deorsum, ad radicem altitudinis metiende terminetur.
Exurgunt autem duo triangula in eadem proportione constituta, unum maius et unum minus. Minus est illud cuius kathetus est uirga coram mensore erecta, basis spacium quod a pede stantis
uirge tenditur usque ad labium prerupti quod deorsum uer Aliud triangulum est cuius kathetus est altitudo prerupti, bas  linea que deorsum secundum planum tenditur usque ad radicem altitudinis metiende, et sunt utraque ista triangula sub eadem hypotenusa orthogonaliter formata, unde necesse est ut in eadem etiam sint proportione constituta. Ergo eandem proportionem maior kathetus habet ad basim suam quam minor kathetus ad  suam habet. Sed minoris katheti quantitas et basis eius et pro¬portio nota est, maioris quoque katheti quantitas nota est et basis eius proportio; igitur et quantitas basis eius nota erit. Si enim duo sunt et quantitas unius scitur et proportio alterius, scitur quantitas utriusque.
 Post hec mensor, eidem uirge in eodem quo supra loco constitute contra medium oculum apponens, estimet quousque uisus descendens a summo labro conuexitatis predicte ad cacumen rei metiende descendat. Vltraque proiectus tria iam triangula in eadem proportione constituta effingat. Primum, cuius kathetus  est pars uirge stantis ab oculo metientis deorsum, basis autem eadem que prius. Secundum, cuius kathetus idem qui prius, sed basis eadem non est. Kathetus namque ipsa est altitudo prerupta, basis uero linea que deorsum a katheto non iam usque ad radicem altitudinis metiende, sicut prius, tenditur sed ultra,  ubi uisus per cacumen transiens in terra terminatur. Tertium est triangulum quod intra secundum describitur, cuius kathetus est ipsa altitudo metienda, basis autem id quod ab hypotenusa desuper tendente ultra apprehenditur et quod ab ipsa altitudine de magna basi extra separatur. Sed in primo triangulo III katheti ac basis proportio et quantitas note sunt, et in secundo triangulo katheti quantitas nota est et basis proportio; igilur
t basis quantitas nota erit. Rursum in tertio triangulo basis ntitas per quantitatem basis secunde nota est et katheti pro^ o; igitur et katheti quantitas nota erit, quod est altitudo
 fffr )*	,	•
 Omnis mensura profundi mter orizontem et uerticem subteriorem discurrit per quadrantem et quadrantem ex aduerso sublimis, siue in eleuatione siue in depressione. Et primo per astrolabium sic mensuratur quodlibet profundum usquequo  uisum admittit. Estimat altimetra diametrum putei cuius sit quantitatis, deinde cauet ut cauatio eius orbicularis sit. His exploratis, uertit mediclinium stans super labrum putei donec per utrumque foramen in fundo puteia lateris b oppositi terminum contempletur. Quo uiso, numerum graduum in quo mediclinium  steterit ad totum latus, id est ad XII, confert, et eam inter diame¬trum putei et altitudinem cum statura mensoris proportionem agnoscat. Abiecta statura mensoris, quod remanet profunditati deputatur.
Nam sunt ibi duo triangula in eadem proportione constituta,  unum maius et aliud minus, unum in instrumento et aliud in re. Maioris kathetus est ab oculo mensoris deorsum tota statura metientis cum altitudine putei usque ad fundum porrectus; basis est latitudo, quod est diametrum putei; hypotenusa est uisionis radius, ab oculo metientis oblique descendens in latus fundi ex  aduerso constitutum et totum fundum pro basi apprehendens. Aliud triangulum sub eadem hypotenusa orthogonaliter con¬stitutum est in eadem proportione, cuius kathetus est latus quadrati, basis numerus graduum quos mediclinium infra apprehendit, hy ^°*enusa iB jjp supra, uisus metientis. Et nota est quantitas minoris basis et minoris katheti et proportio, et nota est quan
itas maioris basis per diametrum, et proportio maioris katheti ota est Per minorem kathetum; igitur et quantitas maioris katheti nota erit, que est profunditas putei cum  sta¬tura mensoris. Aufer staturam, et quod remanet altitudo est , quam queris.
 Alii stantes supra labrum putei, uirgam sub pedibus suis per transuersum putei prominentem orthogonaliter collocant, eamque huc et illuc tamdiu trahendo coaptant quousque per finem iacentis deorsum oppositum latus fundi conspiciant. Post hec
 ipsam uirgam, qua parte ori putei superiacuit, ad staturam suam comparantes, eandem inter diametrum putei et altitudinem cum statura mensoris esse dicunt proportionem, supradicta illa ra¬tione triangulorum comprobantes.
  Et sunt qui altitudinem putei aquam in fundo ha bentis, quanta parte aque superemineat, per umbram uirge in
transuersum super os putei pro basi disposite, que subtus in aqua ipsius putei elucet, inuestigare conantur, eadem ratione triangulorum que supra dicta est.
  Nec pretermittere debemus quod quidam etiam pro funditatem stagnorum uel fluminum tali arte se metiri permittunt.
Faciunt globum ex omni parte rotundum de eramine uel plumbo, admodum extenuatum quantum ars sufficit, cui extrinsecus an¬sulam adiungunt, qua possit appendi equabiliter. Deinde consti¬tuunt aliam formulam planam ex ferro, longiorem quam latam  et in uno fine latiorem, in alio fine quoque contractiorem, eique in uno angulorum, ad eam partem qua latior est, uncum faciunt, quo inseri possint ansule supradicte et appendi cum $obo. In alio fine, ubi contractior est formula, pedem extantem et secundum lineam latitudinis eductum formant, grossitudinis
 amplius in capite habentem, ita ut idem latus longitudinis in fine uncum habeat secundum lineam longitudinis prominent^ in altero fine pedem secundum lineam latitudinis extantem Taliter exstructam hanc planam formulam cum globo supradict connectunt, et utrumque in profundum cuius mensura querend  est demittunt. Sumptoque astrolapsu, horam immersionis di. ligenter attendunt. Pondus autem deorsum uergens, cum fundum attigerit, repercussum statim ad superiora remanat. Quo emergente, rursum horoscopis,  hore presentis instans inuentum dili genter notat, et quantum temporis a primo  momento immersionis usque ad emersionem fluxerit cautissima computatione distinguit.
Post hec sumpta hasta uel fune cum perpendiculo, profunditatem quanta sit inquirit, quia in primis experimentum ex minimis capiendum est, quod ueritatem postmodum probet in  maximis. Inuenta profunditate et cum tempore comparata quotiens, deinde profundioribus aquis, et quarum altitudo uel nullo modo uel difficile actu inquiri potest, experimentum adhi¬betur, secundum inuentam comparationem profunditatis et tem¬poris, siue in maiori siue in minori fieri oportet.
 Alii spacium quod pondus immersum descendens et rediens emetitur alia arte estimant. Ponunt in prima immersione poni deris uas tellureum super aquam, et quantum humoris usque ad I emersionem globi colligat pensant. Deinde cum inuenta profunditaI te comparant, et hac deinceps comparatione in ceteris utuntur. I  Huius ego experimentum non cepi, sed tamen, ne experiri uolen? tibus negaretur, dicendum putaui.
Et de his hactenus dictum sit. Nunc de practica in planimetriaB etiam aliquid dicamus 
(II. De planimetria)
	 Omnis mensura plani inter orizontem a circumferentia in centrum siue a centro in circumferentiam discurrit ab omni parte ad omnem partem. Agitur autem instrumentis altimetrie  in profundum secundum crementum et diminutionem utrobique ejsw per contrarium occurrens. Habet hec pars solam basim ex proprio katheto et hypotenusa extrinsecus assumptis, de cuius mensuratione pauca exempli causa subiciemus.
Primum si per astrolapsum metienda planities est, stet mensor io in termino eius aree cuius quantitatem estimat et subleuato astrolapsu de contra dirigat mediclinium donec per utrumque foramen alterum ex aduerso limitem contempletur. Quo inspecto, numerum graduum in quo mediclinium steterit ad totum latus quadrati comparet, et que proportio inuenta fuerit, eadem inter staturam  mensoris et planitiem metiendam erit.
In planimetria statura non additur, sicut in altimetria, propterea  quod ipsa principalis kathetus est et utrumque triangu¬lum perfectum; et caue ut semper kathetus katheto et basis basi conferatur, ne permutatio proportionem perturbet. Si igitur in  primo triangulo katheti quantitas nota est et proportio eius, et in secundo quoque katheti quantitas, que est statura mensoris, nota est et proportio eius, nota erit quantitas basis eius que est planities metienda. Si enim duo sunt et quantitas unius nota est et proportio, etiam alterius quantitas nota erit. 	 Quod si uolueris aliter idem uestigare, sic facies: pone
uirgam ante te equalem cum statura tua, appositoque oculo summitati eius, aliam uirgam subtus uice basis iacentem ei orthogonaliter adiunge, quam sursum ac deorsum promouens tamdiu
 coaptes quousque a summitate stantis per finem iacentis*» extremum aree metiende limitem aspicias.
Et quia duo exurgunt triangula sub eadem hypotenusa ortho gonaliter constituta, in eadem proportione utraque erunt. Eadem igitur proportione erit basis maioris trigoni, que est planities  cum katheto eiusdem, quod est statura mensoris, que inuenta fuerit in basi minoris trigoni, que est uirga orthogonaliter iacens, ad kathetum suum, id est pars uirge stantis a contactu iacentis et supra. Sed minoris basis quantitas nota est et proportio eius; igitur et katheti eiusdem quantitas nota erit. Similiter  maioris katheti, quea est statura mensoris, quantitas nota est et proportio eius; igitur et basis illius, que est planities a pede mensoris usque ad terminum ulteriorem, quantitatem notam esse necesse est.
	Si uirga quam in termino epiphanie  pro katheto erexisti  minor fuerit statura tua, tantum retrocedas donec per summitatem eius ulteriorem limitem uideas sicut prius. Deinde uirga alia a summitate stantis usque ad staturam tuam orthogonaliter ducta, eandem cum superiore ab attactu eius parte stature tue com¬para, et qualem ipsa cum parte stature tue, quam supra se pro  katheto habet, proportionem tenuerit, eandem tota planities metienda ad staturam tuam integram habebit. Et est nota prima quantitas et proportio prima, similiter et secunda proportio nota est, et quantitas in  uno; igitur nota erit etiam quantitas in alio.  De practica in planimetria hec ad presens sufficere uolumus. Deinceps ad cosmimetriam prosequendam accingamur.
(III. De cosmimetria)
	Mensura mundi a centro medio inchoans in diametris et circumferentiis celestis spere et subiectorum circulorum omnium proportione excrescente discurrit, et in his omnibus que ad hec  probata consequuntur speculationem exercet, certos limites principii et finis omnibus assignans et interuallorum spacia cunctorum in certa proportione et quantitate constituens. Cuius speculationem nos a centro medio inchoantes ad reliqua ordine progrediemur.
Terra igitur in hoc mundi sensibilis globo medio constituta io loco uicem puncti optinet, quod in circumferentia circuli equali undique distantia ambitum centrum uocant. Hec igitur licet, ad illam incomprehensibilem spere celestis que omnia suo ambitu includit immensitatem comparata, quodammodo secundum na¬turam puncti indiuisibilis uideatur, in se tamen considerata nostris  angustiis inestimabilem magnitudinem prefert.
Abhac igitur totius huius inuestigationis excursus exordium sumet. Et primum ambitus terre totius quantus sit explicandum uidetur, et quemadmodum humanus sensus ad hunc comprehendendum accesserit reuoluendum.
 Terre igitur ambitus a ueteribus in occulta nature dispositione perquirenda studiosis ducenta quinquaginta duo milia stadia continere probatus est . Stadium autem octaua pars est miliaris, habens passus CXXV ; ducenta igitur et quinquaginta duo milia stadia faciunt miliaria triginta et unum milia quin genta. Que si per CCCLX gradus diuidantur, eueniunt unicuique stadia septingenta, hoc est octoginta septem miliaria et semis unum, id est dimidium.
Huius inuentionis primus auctor Erathostenes  f qui in hac disciplina spectabilis et sagacissimus eorum que \
 scrutator exstitit.	eut
Hic itaque, cum terre ambitum estimare disponeret, tali arte uiam sibi fecisse dicitur, et hoc argumento satis mirabili ingenio excogitato  usus memoratur. Nam a mensoribus regis Ptolomei adiutus, qui totam Egyptum tenebat, a Siene usque ad  Moroen  horoscopicis uasibus cum equali gnomonum  dimensione dispositis et per singula uasa singulos gnomonice supputationis  doctissimos ordinans, una die omnes um¬bram meridianam obseruare precepit. Qua per singulos gnomones computata, comperit quod ultra septingenta stadia ad unius  longitudinis gnomonem umbra non respondit.
Post hec altiori ingenio ueritatem huius rei persequens, substellate noctis tempore sumpto astrolapsu, quod secundum ambitum terre et firmamenti in CCCLX gradus per circuitum diuiditur, et per utrumque mediclinii foramen polo inspecto, gradum in quo  mediclinium stetit diligenti adnotatione signauit, et profectus in recta linea a meridie contra septentrionem, rursus subsequenti nocte polum per utrumque foramen mediclinii contemplatus et tertio similiter, tandem uno gradu mediclinium ad superiora promotum inuenit.
 Tunc dictante ratione huius itineris spacium diligenter emensus, muenit DCC stadia siue miliaria LXXXVII et senus unum, hoc est dimidium. Post hec datis unicuique de CCCLX totius circuli
gradibus totidem, inuentus est totius terre ambitus CCLII stadia siue XXXI.D miliaria continere. Atque ita probabili ra tione concludit quod partes siue gradus CCCLX, quibus omnis Zodiaci circuli tractus ac celestis spere circuitus diuiditur, ad terras usque perueniant, et pars que ibi incomperte* et inestimabilis mensure est in terra sub certa mensura cadat.
 Terre ambitu comparato, quantitatem diametri inquiramus.  Omne diametrum triplicatum et addita septima parte circulum
facit . Igitur de omni circulo ablata XXIIa parte et eius quod remanet sumpta tertia, quantitas diametri est. Si ergo de CCLII milibus stadiis uicesima secunda auferatur que constat in Xl.CCCC.LIIH sed et XII XXelle unius stadii remanent,  <remanent> CCLX.D.XLV et decem XXelle unius stadii, cuius summe pars tertia sumpta facit diametrum terre in octoginta milibus stadiis CLXXXI et semissi unius stadii et septem XXe Ile unius stadii, quamuis Macrobius idem diametrum  LXXX stadia uel non multo amplius habere dicat .  Nunc iam consequenter pandendum est qualiter ad altitudinem solis comprehendendam prisca sagacitas peruenerit.
 Sole medio die desuper constituto et sue lucis radios in omnem partem spargente, trianguli forma pari proportione circumquaque exsurgit, uno in medio omnium triangulorum, ad quamcum
 que partem sumantur katheto que est altitudo solis, hypotenuse uero ex omni parte sunt radii obliquo ductu a sole in terram por¬recti et unam aliquam partem deorsum in superficie terre intra
se et kathetum pro basi apprehendentes. Quodcumque ergo^o c quod pro katheto erectum sub radio solis in oppositam  tem umbram proicit triangulum format in eadem proporti^ manens, cum sit orthogonium sub eadem hypotenusa consti tutum. Qualis ergo proportio inter umbram deorsum iacentem et corpus illud quodcumque erectum, a quo umbra formatur, fuerit talis procul dubio inter spacium illud quod a fine umbre ulteriorem  retrorsum usque sub solem uice basis protensum est et ipsam altitudinem solis proportio erit.
Hac consideratione altitudo solis primum comparata ab Egyptiis creditur, qui et equalitate regionis et uicinia solis adiuti men¬suram interiacentis spacii facile comprehendere potuerunt.
 Inuenta est igitur altitudo solis super terram stadia quater mille milia octingenta et XX milia, quod est quadragies octies centena milia et XX milia. Si ergo ab altera quoque parte usque ad solis circulum par mensura tendatur, dupla quantitas exurgit: nonagies sexies centena milia et XL milia. Quibus si diametros  terre media coniungatur, que est octoginta milia stadia CLXXXI semis et septem XXelle unius, erit integra solaris circuli dia¬metros a circumferentia in circumferentiam per medium centrum nonagies septies centena milia et XX milia et CLXXXI semis et septem XXelle unius. Que si secundum rationem circuli tnioo plicationi sue septimam partem adiecerit, faciet trigies mille milia et quinquies centena milia XLlX et C. XLII et dextantem et septimam unius sextantis, et hec est perfecta quantitas circu i solaris. 	 	
Hanc uero computationem quam ob causam Macrobius ita  negligenter pre terierit ignoro, siue quia apud philo¬sophos diametrum centri quasi punctum indiuisibile ad mensuram computandum non est . Ergo, ut breuiter in unum dicta colli¬gamus, diametrum terre continet stadia octoginta milia et CLXXXI et semissem et septem XXIle unius. Ambitus lio terre continet ducenta quinquaginta duo milia, altitudo solis quadragies octies centena milia et XX milia. Diametrum circuli solaris continet stadia nonagies septies centena milia et uiginti milia etCLXXXI et semissem et septem XXIle unius. Circulus solaris continet stadia trigies mille milia et quinquies centena milia  XLIX et CXLII et dextantem et septimam unius dextantis.
	Sed antequam ad reliqua que sequuntur progrediamur, adhuc de altitudine solis, qualiter ab his etiam qui remoti sunt in qualibet terre regione comprehendi possit manifestandum est.
Ad quod duos modos propono: unum secundum umbram gno monis, alium secundum mediclinium et radium solis.
Secundum gnomonem sic. Erigatur orthogonaliter gnomo cuius¬libet quantitatis ad radium solis in media die. Deinde umbra quam gnomo proicit diligenter cum ipso comparetur, et eadem proportio inter altitudinem solis et spacium quod interiacet esse  pronuntietur. Et quia illius spacii quantitas propter sui immensitatem actu uestigari non potest, arte retrorsum est metiendum. Quapropter mensor ad secundam stationem retrorsum pergat, iterum supradicto gnomone erecto umbram ad comparationem adducat iterumque eandem inter altitudinem solis et spacium  quod interiectum est comparationem esse pronuntiet que fuerit
inter gnomonem et umbram eius comparatio inuenta. |?t 'A quantum basis secunda primam basim superet, quia hoc  spacium quod est inter primam et secundam stationem, rw* diligenter emenso, per eius quantitatem cetera omnia facile pat °  eunt. Hec breuiter transcurrimus propterea quod omnia ex Su pradictis certissime constent.
	Est autem alius modus longe isto facilior nec tantum laborem expetens, in quo id magis mireris, quod tam difficilis tamque sublimis res sine grandi argutione et sine labori sa  scrutatione manifesta fiat. Ambitus firmamenti totius, qui jn trecentos sexaginta gradus diuisus est, terre ambitum ita medio libratum loco complectitur ut, a singulis sue diuisionis interstitiis rectis lineis deorsum deductis, in totidem partes ipsum ambitum terreni globi distinguere uideatur. Quo fit ut ille celestis partes  globi, licet incomprehensibilis sint magnitudinis, his tamen que in ambitu terre sub certa tenentur mensura paribus equa circuitionis parilitate respondeant.
Si ergo a quibuslibet duobus gradibus ex trecentis sexaginta firmamenti gradibus linee recte usque ad gradus terre dedu cantur, quot gradus desuper ex gradibus firmamenti intra se continent, deorsum totidem ex minoribus gradibus terreni ambitus complectentur, et quam proportionem eorum interuallum de¬super ad totum firmamenti ambitum habuerit, eandema procul dubio distantia ipsorum deorsum ad totum terre circulum continebit.  Sole igitur in linea meridiana desuper constituto, subleuato astrolapsu contra eius radium mediclinium disponamus. Cumque eum normaliter per utraque mediclinii foramina in directum transire uiderimus, reducto statim instrumento, quot gradus inter mediclinium et lineam meridianam desuper numerentur perqui

 ramus. Quibus inuentis, totidem inter solem et uerticem nostrum
de trecentis sexaginta gradibus totius firmamenti nullatenus dubitemus.
Et per hoc deorsum quoque, inter nos et eum locum qui recta linea desuper solem suscipit, totidem de trecentis XL gradibus  quos ambitus terre continet uerissime affirmamus. Cumque trecentesime sexagesime partis terreni ambitus mensura nota sit, numero graduum inuento consequenter omnium mensura nota erit. Si autem basis mensura et katheti proportio nota fuerit, etiam men¬sura katheti secundum supradictam regulam nota erit.
 Et de altitudine quidem solis hec ad presens dicta sufficiant. Nunc de perquirenda magnitudine solaris globi et diametro eius subsequens sermo exordium sumit.
	Die equinoctiali ante solis ortum cosmimetra uas horosco¬picum cum certis horarum interstitiis signatum  gnomone  adhibito ita disposuit ut primum emergentis solis radium stilus excipiens umbram in oppositum super primam lineam prime hore limitem signantem dirigeret, locusque ipse qui primum umbre uenientis attactum excepit note impressione signatus est, obseruatusque diligenter est percursus umbre donec solis orbis  totus ab orizonte ita integer emersisset ut adhuc una summitas orizonti uideretur insidere, et locus, quem tunc umbra de stilo cadens occupauit, notatus.
Habitaque dimensione inter primam et secundam umbre no¬tam, que integrum solis orbem, hoc est diametrum, note de  duabus eius summitatibus metiebantur, inuenta est pars nona eius spacii quod inter primum et secundum limitem prime hore con¬tinebatur. Unde certum est quod unam equinoctialem horam integram faciet solaris orbis nouies repetitus accessus, et quia totum celestis ambitus emisperium XII integris horis equinoctia
 libus reuoluitur, tota autem spera XXIIII horis circumuagatur, XXIIII uero nouem unicuique datis CCXVI complentur, solis diametrum sui circuli ducentesima sextadecima pars  necessaria consequente ratione probatum est.
Et si cui hec ratio fortasse uacillare uideatur propter motum  solis eo quod, in ulteriora sine cessatione progrediens ampliori quam quantitas sua exigeret, in ortu suo mora mensorem fefellisse credatur, potest per astrolapsum huius rei certissimum capere experimentum, emergente solis spera et insidente adhuc orizontis margini, si ipsum mediclinium ad eius summitatem leuaue rit, et gradus qui subterius supra mediclinium apparent ad totum quadrantem comparauerit, eamque inter diametrum solis et cir¬culi quadrantem esse dixerit proportionem.
	Diametro solaris globi inuento, ratione circuli quantitas orbis eius facile cognoscitur si secundum supradictam regulam  triplicationi diametri septima pars adiciatur. Diametros autem solis qui auerissima ratione solaris circuli circumferentie ducen¬tesima sextadecima pars probata est , terre diametron multum excedere inuenitur, licet  tamen ad duplarem proportionem nullatenus exurgat, XVIII.D.CCCC.XXXII stadiis et sextanti  et semissi, et eo amplius minus continet eius duplo, quamuis Macrobius fere duplam habere asserat proportionem ad illam , temperamento quidem assertionis usus in isto, tam audaci in audendo quam prius in terre diametro in demendo fuit, forsitan tedio lectorem parcens in multiplicandisnumeris consummare.
 Nunc superest ut per diametron solis et per diametron circuli solaris umbram terre estimemus ex diametro eius. Ponamus igitur summam in medium, et uideamus quod ratione dictante ex his consequatur. Diametros solaris circuli, sicut supradictum est, con¬tinet stadia nonagies septies centena milia et XX et CLXXXI  semissem et septem XXasIIas unius stadii. Diametros solis continet stadia centum quadraginta unum milia CCCCXXXI sex¬tantem semiunciam unius et ducentesimam sextamdecimam par¬tem unius integri et unius dextantis et unius septime partis sex¬tantis unius stadii. Hec est integra diametros solis. Diametros  terre continet stadia octoginta milia CLXXXI semissem et sep¬tem XXasIIas unius.
	Si duo katheti ad eandem basim erigantur, alter in capite duplus et alter in medio subduplus, eandem hypotenusam contin¬gent eidem basi concurrentem. Quod si fuerint impares a duplo  katheti, alia atque alia hypotenusa concurrent ad eandem basim a principio et medio, et minoris quidem katheti hypotenusa a medio uel secundo katheto et deinceps subterius tendet maioris desuper.
Exemplum utriusque subter formauimus sic: sint duo katheti  duplus et subduplus ad eandem basim a principio et medio taliter; sint item duo katheti ad eandem basim a principio et medio impares a duplo, hoc est non dupli primo, primus maior duplo hoc modo; deinde primus minor duplo, et erit figura talis.
Et in imparibus quidem a duplo, si id quo primus minor est
 duplo secundi basi quater adiectum fuerit uel quotienslibet ad eandem proportionem hypotenuse concurrent, et erunt utrique katheti eandem hypotenusam contingentes eidem basi cum adiectione concurrentes  in hunc modum 
	Sit ergo diametros circuli solaris pro basi a circumferentia  in circumferentiam per medium centrum ducta, et terre diametrum per medium secans medietatem supra et medietatem infra relin¬quat. Deinde in capite ubi circumferentiam sui circuli con¬tingit, solis ei orbis per medium centrum affigitur, ita ut ad ipsam pro basi iacentem sursum et deorsum katheti erecti uidean tur, in principio basis diametros solis a medietate sursum et a medietate deorsum, in medio basis diametros terre a medietate sursum et medietate deorsum.
Si ergo tota diametros solaris globi ad totam diametron terre dupla esset, et medietas eius que est kathetus in principio  basis utrimque erectus ad medietatem illius que est kathetus in medio basis utrimque erectus dupla existeret. Nunc uero quia minor est duplo ad totam medietatem eius, necesse est esse duplo minorem medietati illius comparatam. Omne autem quod comparatum alteri qualibet differentia illud excedit medietatem  quoque eius medietatem eiusdem illius medietate excedere conuenit.
Nos autem superius diametron solis totam in stadiis centum XL et uno milibus quadringentis triginta et uno sextante semiuncia et ducentesima sextadecima parte unius integri stadii et dextantis  et unius septime sextantis unius stadii constare probauimus, dia
metron autem terre integram in stadiis octoginta milibus trecentis triginta tribus et triente diximus contineri.
Si ergo minorem numerum de maiori abstrahas, relinquitur differentia integra utriusque. Demantur itaque octoginta milia  trecentis triginta tres et triens de maioris diametri numero, re¬manent sexaginta milia octingenti nonaginta et deunx, semiuncia, et ducentesima sextadecima unius integri et unius semiuncie et unius septime partis semiuncie.
Et hec est differentia integra inter diametrum solis et diame trum terre. Huius parte dimidia que est XXX tria milia quadrin¬genti quadraginta quinque quincunx et semiuncia et sicilicus et quadrin gentesima tricesima secunda pars unius integri et unius semiunciea dimidia solis diametros dimidiam terre diametron superat. Que differentia cum ad duplam propor tionem non excrescat, dispositis kathetis ad eandem basim hy¬potenuse non concurrent.
	Quod si basi quater adiciatur id quo duplus secundi katheti primum superat, in unum hypotenuse concurrent.
Sumamus itaque dimidiam solis diametron, id est, kathetum
 primum, qui est LXX.D.CXV sesquiuntia sicilicus quadringentesima tricesima secunda unius integri et semiuncie unius et septime partis semiuncie unius, et auferamus eum de duplo secundi quod est integra diametros terre, scilicet de octingentis milibus trecentis triginta tribus et triente, et remanent septingenti decem et octo  et triens.
Hec itaque differentia quater adicienda est basi, id est solaris circuli diametro, ut sit tota summa adiectionis stadia duo milia octingenta septuaginta tria et triens. Quo spacio umbra terre ultra diametrum eiusdem solaris circuli sese extendit, licet Macro bius  usque ad circulum solis tantum eam porrigi testetur. Horum omnium exemplar in figura subter adiecimus, que terre globum cum diametro sua continet et circulum solis extrinsecus cum sua diametro cui ad caput solis spera affixaU est similiter cum sua diametro et sunt hypotenuse deducte a singulis kathetis ita. 	 Igitur in prima figura hypotenusa in primo katheto,
id est summitate diametri solis deducta, summitati secundi katheti subtendit ut hypotenuse a summitate secundi katheti, que est diametros terre, uenienti ad eandem basim concurrat, ubi diametros solaris circuli periferiam suam coniungit. Vnde pro batur radius solis nequaquam umbram terre in illo loco precidere posse cum eum altior ipsius terre diametros intercurrens excipiat.
Sed ubi adiectio basim protraxerit ad eum locum in quem solis radius per summitatem diametros terre secundum  ductum hypotenuse descendens cadit, ibi umbram terre ex utra
 que parte a terre diametro in oppositum directam terminari necesse est et confinium quoddam constitui ubi finiantur lux et tenebre, ut deinceps lumen consortium tenebrarum in lumine non admittat sed solum lumen in solis regione regnare incipiat.
 De diametro terre et circumferentia ambitus illius, de al
 titudine solis et diametro circuli eius et circumferentia illius,
deinde de diametro ipsius spere solaris ac de altitudine umbre terre, quantum presentis tractatus breuitas paciebatur explicuimus. Nunc de orizonte circulo ac de his que intra eius periferiam existentia umbram emittunt quid natura ferat uideamus. Volo
 autem prius premittere quedam quibus lector ad sequentium intelligentiam preparetur.
 Si igitur duo circuli fuerint, unus circumscriptus et unus circumscribens, et circumscriptus introrsum totus lux sit et totus extra tenebre, si interioris circumferentia ut libet aperiatur, lux
 emicans totam partem maioris circumferentie apprehendit quota parte minoris egreditur hoc modo.
 Si fuerit unus circulus totus intus tenebre et totus extra lux, si aperiatur eius circumferentia ut libet, lux intrans tantam ex opposito eiusdem circumferentie partem apprehendit intrinse
 cus quantam exterius eque distantis sic.
 Si fuerint duo circuli, circumscribens et circumscriptus, totusque circumscribens intus tenebre fuerit et totus extra lux, si in unoquolibet loco exterior circumferentia aperiatur, lux intrans interiorem circumferentiam extrinsecus apprehendit. Sed cum
 introrsum eam apprehendit minorem maioris, cum uero extrinsecus,
maiorem minoris portionem contingit equali spacio et interuallo procedens, et qui plus distans maiorem utrimque contingit portionem, qui uero minus minorem, siue de intus exiens siue de foris in¬trorsum descendens.
		Si idem circulus eidem circulo quantolibet spacio et
interuallo circumductus  fuerit, qui ab eius circumferentie puncto quolibet ad contactum interioris radii utrimque descenderint aliquam eiusdem partem apprehendent, maiorem siue minorem secundum differentiam circulorum et in maiori  maiorem et in minori minorem. Et qui a contactu interioris eminus in exteriorem procurrunt eius aliquam partem utrimque apprehendunt, et quod apprehendunt altrinsecus singuli eorum, unumquodque maius est eo quod introrsum apprehendunt utrique.
Et contactus interioris inter contactum et contactum altrinse cus aliquando par loco est, aliquando impar, et ad illud maius et ad istud minus. Communis uero contactus qui solus utrique semper est par loco inuenitur et equedistans inter contactum et contactum altrinsecus et illum qui est in interiori altrinsecus et illum qui est in exteriori altrinsecus hoc modo.
 Et pars interioris circumferentie que est inter contactum et contactum format diametron horizontis.
	Si fuerint multi circuli quantolibet spacio et interuallo ad idem centrum circumducti, semper exterioris contactus inferius fit et solus interior bis contingitur, solus exterior ter, medii omnes  quater, quotquot fuerint hoc modo.
Si fuerint multi circuli ad idem centrum circumducti, et ab unoquolibet puncto circumferentie que a centro est secunda, ad eam que prima est contingendam radii utrimque procurrant
in infinitum educti, eos qui extrinsecus circumscribuntur bis  secant. Et omnino omnis circulus, a cuius circumferentia linee contingentes exeunt, ter contingi habet, ille ad quem procurrunt bis, qui medii inter utrumque quater, qui extrinsecus bis, qui intrinsecus intacti sunt, ut intelligas abusiue contactum siue contactatum siue sectionem siue terminum excipientem et contin gentem.
 Si a duobus punctis, in eadem circumferentia ex aduerso sumptis, linee contingentes ad interiorem circumferentiam  deducantur, utrimque ex aduerso concurrentes, quatuor triangulos formant, aliquando equales omnes, aliquando duo maiores et
 duo minores ex aduerso constitutos. Cum autem contactus ad medium concurrit interioris circumferentie et utrimque duo relinquuntur triangula ex aduerso, quibus deinceps in infinitum desuper eleuatis contactus deorsum ultra non procurrit nec am¬plius de interiori circumferentia apprehendere potest et omni  tempore quod a medio deorsum est necesse est inuisibile permanere, et de quatuor equalibus sic est, de II maioribus et de II minoribus sic, de II maximis sic.
Et si a punctis duobus a quibus contingentes exeunt linee ad centrum alie recte deducantur et ab omni contactu similiter recte ad  centrum, formantur inter exteriorem et interiorem circumferentiam octo trianguli, et inter interiorem et centrum similiter VIII, ali¬quando pares, aliquando impares, sicut subscriptum est in forma.
Ex his omnibus coniecturam orizontis formemus et comprehensionem circumferentie, quia globus terre propter immensam  circumferentie sue coniecturam ad planum accedit et explicat se uisioni amplius ad comprehendendum porrecte.
 Sit itaque uisio quasi emergentis ab imo et statim utrimque se diffundens ad comprehendendam circumferentiam. Omne
autem quod ab aliqua extrinsecus circumferentia emergit utrimque  apprehendit eam, lineis ab eius summo ad contactum procurrentibus, et quod apprehendit aliquando minus est, aliquando maius, se¬cundum modum eleuationis, et quod a minori apprehenditur maius est ad illud et quod a maiori apprehenditur minus est ad illud sem¬per. Et omnis exterior circumferentia interius et inferius ap prehenditur et omnis interior circumferentia superius apprehendi¬tur, et tamen id quod de exteriori circumferentia inferius apprehen¬ditur et id quod de interiori superius in unam uisionis directionem concurrit, et hoc uerum est semper.
Hoc autem longinquitas facit, que  porrigens, que sub tus est; contrahit respectum in unam lineam, sicut est hoc.
Et hinc est quod Macrobius  dicit procurrentem aspectum ultra centum et octoginta stadia deficere atque in rotunditatem recurrendo curuatum orizontem formare, sicque orizontis circu¬lum non amplius trecentis sexaginta stadiis complecti posse, a  medio centro in utramque partem centum octoginta stadiorum porrectione eiecta, siue quia humane stature discrepantia neque in maius adicit neque in minus demit, quod computatio attendat, siue quia stadios ac passus differentes pro diuersitate stature accipiendos relinquit.
 Sed si que alia de orizonte dicenda uidebuntur, sequenti libro cum parallelis et coluris aliisque celestibus circulis  reseruamus