DE SPHERA
   Intentio nostra in hoc tractatu est describere figuram machine mundane et situm et figuras corporum eam constituentium et motus corporum superiorum et figuras circulorum suorum. Quia igitur huius mundi machina spherica est, dicendum est in primis quid sit sphera.
   Est autem sphera transitus semicirculi diametro eius fixa quousque ad locum suum unde incepit redeat. Si igitur semicirculus ACB circumvolvatur super AB diametrum fixam, manifestum est quod motu suo describet corpus a cuius medio, scilicet O, omnes linee exeuntes ad eius circumferentiam sunt equales. Et erit, corpus illud, cuiusmodi corpus dicimus esse spheram. Tale autem corpus est tota mundi machina.
   Ymaginemur iterum super O centrum DFE semicirculum describi. Manifestum est ergo quod superficies inter ACB semicircumferentiam et DFE semicircumferentiam, si circumvolvatur super AB diametrum, motu suo describet corpus cuius ultima superficies et intima erunt
spherice, et corpus illud totum interius et exterius sphericum, nihil habens extra se, omnia corpora continens intra se. Consimilis figure et situs corpus huius mundi est; unum quod quintam essentiam nominant philosophi, sive ethera sive corpus celi, et preter elementares proprietates circulariter mobile, in quo 7 planete cum stellis fixis continentur.
   Posito iterum O centro et OG spatio occupato, describatur semicircirculus GHI. Superficies igitur contenta inter DEF semicircumferentiam et GHI semicircumferentiam corpus interius et exterius sphericum describet, contiguum exterius quinte essentie et intra se continens reliqua corpora. Huius figure et situs est corpus ignis. Superficies iterum inter GHI semicircumferentiam et KLM contenta circumvolutione sua describet corpus, cuius figure et situs optinet aer similitudinem. Item superficies inter KLM et NRP semicircumferentiam contenta circumrotatione sua describet corpus, cuius corporis figure et situs similitudinem optinet aqua. Circuitio iterum NRP semicirculi describet corpus sphericum, in medio predictorum corporum contentum, cuius figure et situs similitudinem optinet terra. Verumtamen ut animalia terrena habitaculum et receptaculum haberent, aqua in concavitatem terre recessit et apparuit superficies terre separata. Estque terra cum aquis in se contentis sicut sphera terre solum.
   Quod autem corpora predicta spherica sint et rationibus naturalibus et experimentis astronomicis ostenditur. Quia namque a natura rei est forma et unumquodque predictorum corporum naturalium nature unius est, cuius scilicet quelibet pars participat cum toto in nomine et diffinitione, necesse fuit ut unumquodque haberet uniformem figuram, cuius quelibet pars esset toti consimilis. Talis autem nulla est preter sphericam. Preterea, quia omne ponderosum tendit ad centrum, et locus profundior est qui est circa centrum, necesse est duo corpora ponderosa sphericam habere figuram; et similiter de duobus levibus, quia locus elevatior est qui magis distat a centro, et omne leve ad magis elevatum tendit.
   De quinta essentia ostendit philosophus quod ipsa est spherica quia necesse est motus rectos, qui sunt elementorum gravium et levium, reduci ad motum circularem, qui est de necessitate quinte essentie. Sed si movetur circulariter de necessitate spherica est, quia si esset angulosa de necessitate esset locus vacuus.
   Experimento etiam scitur quod terra est rotunda. Si enim esset plana, cum visus recte procedat, visus omnium super superficiem terre existentium ad eundem locum in celo terminaretur. Sed notum est experimento quod illi qui sunt in terra Indie super Arim civitatem vident polum  septemtrionalem, et ipse est finitor visus eorum. Et quanto homines magis recedunt ab illa civitate versus septemtrionem, tanto magis elevatur eis polus, et finitur visus eorum sub polo. Illud autem non posset accidere nisi hac via terra esset rotunda.
   Quod autem sit rotunda versus oriens et occidens patet per hoc quod prius est dies hiis qui magis accedunt orienti et tardius hiis qui sunt propinquiores occidenti, et similiter nox. Et hoc scitur per eclipses lunares. Eadem enim eclipsis visa fuit apud Arim in vespere, que fuit in media nocte eorum qui fuerunt in oriente, et non apparuit eis qui fuerunt in occidente. Similiter alia eclipsis que fuit in media nocte eorum qui fuerunt apud Arim, fuit in vespere occidentalium, et in mane orientalium.
   Quod autem celum sit sphericum patet per apparentiam nobis in visu. Videmus enim stellam unam in celo non motam et omnes reliquas noveri circulariter circa insam. et stellas ei propinquiores breviores circulos describere et remotiores maiores. Apparet etiam nobis unaqueque stella in ortu suo et in medio celi et in occasu suo eiusdem magnitudinis. Iste autem dispositiones non possunt esse nisi in spherico et spherice moto circa diametrum immobilem. Scimus itaque quod quinta essentia circulariter mota est circa diametrum fixam.
   Diameter fixa axis vocatur, ebraice quidem magal', et extremitates axis poli appellantur, quorum unus qui semper nobis apparet articus appellatur ab arthos grece, quod est ursa latine, eo quod prope ipsum est tam maior ursa quam minor. Polus ei oppositus antarticus dicitur, quasi contra articum polum positus. Super hos duos polos, ut diximus, circumvolvitur celum cum omnibus stellis et planetis, que sunt in eo motu equali et uniformi per diem et noctem semel, cuius motus causa efficiens est anima mundi.
   Ymaginemur itaque circulum magnum per duos polos circumductum et alium per eosdem polos circumductum, secantem priorem orthogonaliter. Hii duo circuli vocantur coluri a colon quod est membrum et uros quod est bos silvester, eo quod apparens nobis in visu de circulis illis caude bovis assimilatur.
,   Ymaginemur iterum circulum magnum circumductum distantem ab utroque polo secundum latus quadrati.  Hic circulus utrumque predictorum secabit orthogonaliter, et hic vocatur equinoctialis, eo quod, quando sol circumrotatione firmamenti describit illum circulum, equalis est dies nocti in omni regione.
   Ab equinoctionali itaque circulo accipiantur 24 gradus, sive 23 gradus cum 33 minutis, versus polum articum in uno predictorum coluorum, et a puncto equinoctialis priori opposito sumantur in eodem coluro totidem gradus et totidem minuta versus polum antarticum, et circumdu catur circulus magnus per terminos predictorum graduum et minutorum hinc inde sumptos, qui circulus de necessitate transibit per duo puncta ubi cquinoctialis reliquum secat colurum. Hic circulus magnus vocatur linea ecliptica, sive cingulus signorum. Et si buic circulo circumducantur duo circuli equedislantes hinc inde, quorum uterque distat ab eo per 6 gradus, superficies circularis habens latitudinem 12 graduum inter eosdem circulos contenta zodiacus vocatur a zoas, quod est animal, eo quod eius partes ymaginibus sunt insignite nominibus animalium nuncupatis.
   Hic enim circulus in 12 partes dividitur et vocatur unaqueque duodecima signum unum. Quodlibet iterum signum in 30 gradus dividitur. Et erunt in toto circulo 360 gradus. Quilibet iterum gradus in 60 minuta dividitur. Initio itaque sumpto in zodiaco ubi eum secat equinoctialis circulus, a qua sectione, si fiat processus contra motum firmamenti procedendo in partem septemtrionalem, principium primi signi invenitur. Prima enim duodecima vocatur aries, secunda taurus, tertia gemini, quarta cancer, quinta Ico, sexta virgo, septima libra, octava scorpius, nona sagittarius, decima capricornus, undecima aquarius, duodecima pisces.
   Principium cancri est in puncto cinguli signorum qui magis appropinquat polo artico; et motu ipsius puncti describitur circulus equedistans equinoctiali, qui vocatur paralcllus, I eo quod est equedistans, et tropicus estivalis, quia sol accedens ad ipsum in estate convertit motum suum versus austrum. Tropos namque idem est quod conversio. Ciicurnvolulione iterum capricorni describitur circulus equedistans equinoctiali equalis priori equedislanti, qui tropicus hyemalis appellatur, eo quod sol ad eum accedens in hyeme, cum ibi pervenerit convertit motum suum ad septemtrionem.
   Si igitur ymaginemur lineam rectam orthogonaliter penetrantem su perficiem cinguli signorum per centrum eius, linea illa erit axis zodiaci cuius extremitates, scilicet poli, erunt in coluro qui transii per puncta tropica, tantum remota utrimque a polis mundi quanta est declinatio punctorum tropicorum ab equinoctiali. Circumrotatione itaque polorum zodiaci describuntur duo circuli equedistantes ab equinoctiali eiusdem magnitudinis. Et ille qui est prope polum articum, vocatur paralellus articus sive septemtrionalis, et reliquus ei oppositus paralellus antarticus sive australis, ilii 5 paralelli sunt 5 zone, de quibus Vergilius: « quinque tenent celum zone », <et Ovidius:> « totidemque plage tellure premuntur ».
   Ymaginemur itaque circulum sub cingulo signorum recte dispositum nusquam a cingulo signorum declinantem. In circulo sic disposito currit corpus solis, ita quod centrum corporis solis semper est in circumferentia prcdicli circuli et movetur in hoc circulo motu proprio contra firmamentum, ita quod in 365 diebus et quarta diei fere percurrit circulum illum. Motu tamen firmamenti circumfertur ab oriente in occidens et ab occidente in oriens per diem et noctem semel. Si itaque sol esset immobilis quoad motum proprium, circumvolutione sua in occidens describeret paralellum equedistanlem equinoctiali, aut ipsum cquinoctialcrn, si esset in principio arietis vel libre. Sed quia mobilis est, dum circumfertur motu celi, iam recessit a puncto in quo fuit in principio illius revolutionis, unde circumrotatione firmamenti spiram unarn cotidie describit, que spira quasi paralellus est, et propter insensibilem differentiam paralellum nominamus quandoque.
   Manifestum est igitur quod quotiens revolvitur firmamentum dum transit sol a principio cancri usque in principium capricomi, tot spiras vel paralcllos motu firmamenti describit. Durn vero revertitur sol a capricorno usque ad cancrum per eosdem paralellos, iterum circumfertur.
   Orizon vero est circulus qui dividit medietatem celi visam a medietate non visa, et interpretatur orizon finitor visus. Radius enim visualis est sicut linea recta contingens terram. Et si ponatur linea terram contingens super aliquem punctum terre protensa usque ad firmamentum, et circumrotetur linea in eodem puncto contingens terrarn, ipsa circumrotata faciet circulum dividentem celum in duo equalia, cum magnitudo terre sit insensibilis respectu celi. Talis circulus est orizon a radio visuali descriptus, unde quot sunt loca super terrarn et circumferentiam, tot possibile est esse orizontes.
   Ex situ orizontum et paralellorum predictorum facile est videre quid accidit in omni situ terre de equalitate et inequalitate dici um ac noctium Videndum est in primis quid accidit hiis quorum cenith capitis est in equinoctiali circulo. Voco autem cenith capitis extremitatem linee recte directe a centro terre per capud hominis usque ad firmamentum. Eorum ergo orizon, quorum cenith est in equinoctiali circulo punctus aliquis, de necessitate transit per utrumque polum mundi, cum scmpei a cenith capitis
sit quarta circuli usque ad orizonta.
   Cum igitur duo poli sint immobiles, poli sic semper emnt in confinio visus eorum. Et cum omnis circulus descriptus super polos mundi secetur a predicto orizonte orthogonaliter et per equalia, et omnis punctus in celo alius a polis mundi motu celi describit circulum supra polos mundi, manifestum est quod omnis punctus in celo alius a polis illis habet ortum et occasum, et est per medietatem unius revolutionis supra orizonta eorum et per tantum spatium sub orizonte.
   Oriturque omnis punctus et omnis stella secundum angulos rectos. Ex hoc patet quod quilibet dies eorum est equalis sue nocti, et quilibet dies cuilibet diei et cuilibet nocti. Cum enim quilibet paralellus descriptus a sole per unam celi revolutionem secetur a predicto orizonte orthogonaliter et per equalia, et motus celi semper est uniformis et quelibet revolutio equalis alii -- dumque describit sol medietatem paralelli, scilicet supra orizonta, est dies, et dum describit medietatem sub orizonte est nox -- manifestum est quod omnis dies est equalis sue nocti, et quilibet dies cuilibet diei et cuilibet nocti.
   Preterea existentibus sub equinoctiali circulo contingit quod sol bis in anno transit per cenith capitis eorum, scilicet quando sol est in principio arietis et iterum quando est in principio libre. Tunc enim motu celi describit equinoctialem circulum et umbra eorum ante meridiem tendit directe versus occidens, et umbra post meridiem directe versus oriens, et umbra meridiana rei erecte nulla. Istud patet per hoc quod umbra semper fertur in oppositum lucidi. Dum vero sol describit signa septemtrionalia, oritur eis sol inter oriens et septemtrionem, et ascendit cotidie inter ipsos et septemtrionem, estque in meridie recte inter cenith capitis eorum et septemtrionem, unde umbre meridiane directe flectuntur ad austrum. Dum vero sol describit signa australia, oritur eis sol cotidie inter oriens et austrum et ascendit et descendit inter ipsos et austrum, et umbre meridiane flectuntur directe versus septemtrionem.
   Omnibus vero hiis quorum cenith est inter equinoctialem circulum et tropicum estivum accidit similiter quod sol bis in anno transit super cenith capitis eorum, et umbre meridiane nulle. Et dum sol ascendit partem zodiaci inter tropicum estivalem et paralellum transeuntem super cenith capitis eorum, transit sol in meridie inter cenith capitis eorum et septemtrionem, et flectuntur umbre meridiane ad austrum. Et econtrario quando sol ascendit partem zodiaci inter tropicum hyemalem et paralellum transeuntem per cenith capitis eorum.
   Eis vero qui sunt sub capite cancri, accidit quod semel in anno, scilicet quando sol est in capite cancri, transit supra cenith capitis eorum in meridie.
   In omni vero loco inter septemtrionalem circulum et equinoctiaiem est dies maior nocte dum sol est in signis septemtrionalibus. et econtrario dum sol est in signis australibus. Et hoc patet quia in omni tali loco elevatur polus septemtrionalis supra orizonta quantum cenith capitis eorum distat ab equinoctiali. Orizon vero, qui est circulus magnus, secat equinoctiaiem per equalia, et omnem paralellum quem secat inter equinoctiaiem et polum septemtrionalem, secat sic quod magis medietate relinquitur supra orizonta et minus medietate sub orizonte. Et cuiuslibet paralelli sic divisi per orizonta remotioris ab equinoctiali circulo pars relicta super orizonta maior est respectu sui circuli quam sit pars paralelli propinquioris equinoctiali relicta super orizonta respectu sui circuli.
   Cum igitur quelibet revolutio firmamenti sit equalis alii et in qualibet revolutione firmamenti describat sol paralellum unum, motu firmamenti semper uniformi, manifestum est quod omnis dies, dum sol est in sisnis septemtrionalibus. in omni loco versus septemtrionem ab equinoctiali linea, est maior nocte sua. quia paralelli pars relicta super orizonta. descripti a sole revolutione firmamenti, est maior pane eiusdem paralelli sub orizonte relicta. Et quanto sol magis accedit ad caput cancri, tanto facit dies estivos maiores, quia pars paralelli descripti a sole propmquions capiti cancri relicta supra orizonta est maior respectu sui circuli quam sit pars remotioris paralelli a capite cancri supra orizonta relicta respectu sui circuli. Et econverso se habet de diebus et noctibus dum sol est in signis australibus. Quorum etiam cenith capitum magis distat ab equinoctiali habent dies estivos longiores hiis qui magis accedunt equinoctiali. Declinatio namque orizontis eorum maior est. et ab orizonte magis declivi magis relinquitur de quolibet paralello inter equinoctialem et polum elevatum. quam ab orizonte minus declivi.
   Quod autem accidit de div ersitate dierum et noctium. scilicet in omni loco inter equinoctialem circulum et septemuionalem. dum sol est in signis septemtrionalibus. idem accidit in loco tantum remoto versu> aus- irum dum sol esi in signis australibus. Ei quod accidit nobis dum sol esi in sianis australibus, idem accidit in locis veratis ausuum dum sol est in signis septem trionalibus. Hoc patet totum si vmaginetur polus australis elevatus et septeintrionalis depressus. In omni itaque loco inter circulum equinoctialem et septemtrionalem dividitur una revolutio in diem et noctem, quia orizon cuiuslibet talis loci semper secat zodiacum el duos eos paralellos el omnes eis interpositos.
   In omni vero loco sub circolo septemtrionali accidit totam unam volutionem diem esse, scilicet cum sol est in capite cancri, et totam alia revolutionem noctem esse, scilicet cum sol est in capite capricorni. Cum autem circulus scptemtrionalis sil a polo zodiaci descriptus, accidit semel in qualibet revolutione polum zodiaci esse cenith capitis hiis qui sunt sub circulo illo, el tunc zodiacus et eorum orizon sunt simul loco, et est totus tropicus eslivalis supra orizonta el totus tropicus hyemalis sub orizonte sed quilibet paralellus inter hos secatur ab orizonte.
   Sole enim existenle in capite cancri et describente tropicum estivalem erit lota illa revolutio dies, quia aut sol est in confinio visus aut supra orizonta. Sole vero existente in capite capricorni, dum revolutione firmamenti describit tropicum hyemalem, erit sol sub orizonte, et ita erit una revolutio nox. Sole vero existenle in signis intermediis, erit quelibet revolutio divisa in diem et noctem, quia quilibet paralellus intermedius ab orizonte intersecatur.
   In omni vero alio loco est declinatio orizontis ab equinoctiali declinatione zodiaci. Unde paralelli plures de hiis qui sunt a tropico versus equinoctialem ex parte poli elevati semper sunt super orizonta et ex opposito semper sub orizonte. Unde, dum revolutione firmamenti describit sol paralellos apparentes, semper est dies. Et dum describit ex opposito totidem paralellos occultos, semper est nox. Et quanto maior est accessus cenith ad polum, cum tanto minor fit declinatio orizontis ab equinoctiali, tanto plures de paralellis quos describit sol sunt toti apparentes et totidem toti occulti. Unde plures revolutiones sunt dies unus et totidem una nox. Sub polo vero est orizon cum equinoctiali semper simul loco, et propter hoc una medietas celi semper est apparens, et alia medietas semper occulta. Et una medietas anni, scilicet dum sol est in signis septemtrionalibus, est dies et alia medietas anni est nox; unde totus annus est unus dies cum sua nocte.
   Hiis prelibatis considerandum est quid accidat de ortu et occasu signorum tam in sphera recta quam obliqua. Sciendum igitur quod tam in sphera recta quam obliqua ascendit equinoctialis circulus semper unilor- miter, scilicet in temporibus equalibus equales partes ascendunt. Motus enim celi uniformis est, et angulus quem lacit equinoctialis cum orizonte aliquo non diversificatur in aliquibus horis. Arcus vero de equinoctiali circulo qui ascendit cum aliqua parte zodiaci dicitur ascensio eiusdem partis.
   Partes igitur zodiaci equales habentes ascensiones in temporibus equalibus oriuntur, et que in temporibus equalibus oriuntur, equales habent ascensiones. Partes vero zodiaci equales non de necessitate equales habent ascensiones, quia quanto aliqua pars zodiaci rectius oritur, tanto maius tempus ponit in ortu suo, et quanto obliquius oritur tanto minus tempus ponit in ortu suo. Hoc patet sensui et etiam ymaginationi, si ymaginentur circuli magni descripti super utrosque polos mundi transeuntes in zodiaco per sectiones signorum: resecabunt enim zodiacum in 12 partes equales, et equinoctialem in totidem inequales. Et pars in equinoctiali que respondet parti zodiaci resecte ad angulos magis acutos minor est parte equinoctialis respondente parti zodiaci resecte ad angulos minus acutos.
   In sphera utique recta quelibet medietas zodiaci cuilibet medietati equinoctialis equales habet ascensiones. Quelibet enim medietas zodiaci cum medietate equinoctialis ascendit; quelibet etiam quartarum, que sunt inter puncta tropica et equinoctialia, oritur cum quarta equinoctialis circuli. Quodlibet etiam signum signo sibi opposito equalem habet ascensionem. Ascensio namque cuiuslibet signi equalis est occasui sibi opposito, et equalis est occasus et ortus cuiuslibet eiusdem signi in sphera recta.
   Puncta autem tropica in sphera recta recte oriuntur. Puncta autem equinoctialia in eadem sphera maxime oblique oriuntur. Quanto igitur aliquod signum propinquius est puncto tropico in sphera recta tanto tardius oritur et maiorem habet ascensionem. Quanto vero propinquius est puncto equinoctiali, tanto citius oritur et minorem habet ascensionem. Et quelibet duo signa eque propinqua puncto tropico, equales habent ascensiones. Similiter quelibet duo eque propinqua altrinsecus puncto equinoctiali.
   In sphera vero obliqua omnis medietas zodiaci inchoata in aliquo puncto signorum septemtrionalium maiorem habet ascensionem quam medietas sibi opposita. Oritur namque quelibet medietas in die cum arcu de equinoctiali simili arcui paralelli descripti a principio eiusdem medietatis, arcui dico existenti supra orizonta. Arcus autem supra orizonta obliquum existens ex parte septemtrionali ab equinoctiali maior est medietate sua. Et arcus cuiuslibet paralelli ex parte australi ab equinoctiali existens supra orizonta est minor sua medietate, sicut dictum est supra.
   Quelibet vero medietas zodiaci oritur cum arcu de equinoctiali simili arcui existenti supra orizonta de paralello descripto a principio eiusdem medietatis.  Medietas igitur utrimque incohata equedistanter ab utroque tropico puncto equales habet ascensiones.  Et quanto propinquius incohatur tropico estivo, tanto maiorem habet ascensionem signo sibi opposito, et medietas que est a capite cancri usque ad caput capricorni maximam, et omne signum huius medietatis habet ascensionem maiorem signo sibi opposito.  Ascensiones autem quorumlibet duorum signorum sibi oppositorum coniuncte inqualibet sphera obliqua equantur ascensionibus eorundem in sphaera recta coniunctis suntque quorumlibet signorum oppositorum 30 gradus coniuncte, id est due hore equinoctiales.  Hora enim equinoctialis est ascensio 15 graduum de circulo equinoctiali.
   Hiis vero quorum cenith est sub circulo descripto a polo zodiaci oriuntur 6 signa que sunt a capite cancri usque ad caput capricorni subito.  Cum enim polus zodiaci est cenith capitis eorum, orizon et zodiacus simul sunt et statim post intersecant se per equalia.
   Postquam de ortu et occasu signorum diximus, quorum directio et obliquitas est una causa inequalitatis dierum naturalium ad invicem, restat subiungere de alia causa inequalitatis que provenit ex eo quod sol est ecentricus, ut duabus causis inequalitatis coniunctis tota pateat inequalitatis ratio dierum naturalium ad invicem.
   Ymaginemur lineam ductam a 18° gradu geminorum per centrum terre usque in gradum sagittarii oppositum. Et a centro terre computentur in eadem linea duo gradus et dimidius, de diametro circuli solis, versus geminos. Et ubi finitur talis computatio ponatur centrum et describatur circulus super centrum illud secundum eandem quantitatem, que est semidiametri circuli solis, in superficie cinguli signorum. Erit igitur ille circulus recte dispositus sub ecliptica nusquam ab ea declinans. Et is est circulus solis in cuius circumferentia fertur centrum corporis solaris, et movetur corpus solis in hoc circulo motu proprio ab occidente in oriens motu uniformi et equali, ita quod centrum corporis eius semper est in circumferentia huius circuli.
   Punctus autem per quem transit predicta linea directa a geminis in sagittarium ex parte geminorum est maxime accedens ad firmamentum et maxime remotus a terra inter omnia puncta eiusdem circumferentie. Punctus vero oppositus ex parte sagitarii est maxime recedens a firmamento et maxime accedens ad terram.  Et maxime elevatus a terra vocatur aux vel longitudo longior, et punctus oppositus vocatur oppositum augis vel longitudo propior.  Et circulus solis vocatur ecentricus solis, eo quod centrum eius egressum est a centro terre.  Et eadem ratione vocatur circulus egresse cuspidis, eo quod cuspis, id est centru eius, egressa est a centro terre.  Sol igitur, cum uniformiter moveatur sub hoc circulo, inuniformiter movetur in celo.
   Motus ergo solis inuniformis in celo est una causa inequalitatis dierum naturalium.  Cum enim dies naturalis sit una revolutio firmamenti et insuper ascensio eius quod describit sol in celo interim motu suo proprio -- et durante una revolutione plus aut minus describit sol quam sequenti revolutione -- manifestum est quod quantum est de ista causa erunt dies naturales inequales.
   Preterea, cum partes zodiaci obliquius orientes minores habeant ascensiones quam equales partes rectius orientes, etiam si sol uniformiter moveretur in celo, contingeret inequalitas dierum ex hac parte, quia illud quod describit sol in una revolutione minorem vel maiorem haberet ascensionem quam quod describeret in sequenti revolutione.
   Si igitur motus solis procedit augmentando in firmamento et partes sequentes rectius oriuntur in zodiaco erit duplex causa coniuncta maioritatis dierum naturalium; et dicuntur huiusmodi dies maiores.  Quando vero procedit motus solis diminuendo in firmamento et partes sequentes obliquius oriuntur, coniuncta est duplex causa minoritatis dierum naturalium; et dicuntur huiusmodi dies minores.  Quando vero tantum addit una causa quantum reliqua diminuit, dicuntur dies mediocres.
   Ex eo autem quod sol est predicto modo eccentricus accidit quod regio ultra equinolctialem circulum non potest nhabitari.  Sole enim existente in opposito augis per 5 gradus est terre propinquior quam quando est in auge.  Cum enim, sole existente in signis australibus, multum appropinquat sol terre et sic recte super loca australia, duplicatur causa calidatis in eorum estate.  Cum vero est in signis septemtrionalibus, recedit sol a cenith locorum australium et elongatur a terra, unde duplex est causea frigiditatis in eorum habitation.  Cum vero accedit sol ad cenith capitum nostrorum elongatur a terra, et cum recedit a nostro cenith appropinquat terre.  Et ideo est regio septemtrionalis temperata.
   Regio igitur septemtrionalis dividitur in 7 climata.  Et dicitur clima tantum spatium terre per quantum sensibiliter variatur horologium.  Idem namque dies estivus aliquantus est in una regione et sensibiliter est minor, in regione propinquiori austro. Spatium igitur tantum per quantum incipit sic idem dies sensibiliter variari dicitur elima. Nec est idem horologium in principio et fine huius spatii observatum. Hore enim eiusdem diei sensibiliter variantur qualiter et horologium.
   Distinctiones igitur horum elimatum sic possunt ymaginari.  Intelligatur circulus magnus cingens corpus terre sub utroque polo et alius circulus magnus cingens corpus terre sub equinoctiali circulo: secundum situm horum duorum circulorum cingunt duo maria totam terram. Et illud quod cingit terram sub polis Amphitrites, reliquum vero Occeanus vocatur. Hec duo maria dividunt terram in 4 partes, quarum una sola inhabitatur.
   Angulus vero sectionis duorum marium ex parte orientis quarte inhabitate dicitur simpliciter oriens, et angulus oppositus dicitur occidens. Si igitur fiat dimensio ab Occeano versus septemtrionem secundum spatium proscriptum, et per finem illius dimensionis ducatur linea in superficie terre equedistans Occeano utrinque terminata in Amphitrite, spatium terre contentum inter lineam sic descriptam et Occeanum est unum clima. Hoc etiam modo sumpta dimensione a fine primi climatis versus septemtrionem scimulum spatium proscriptum, et a line illius dimensionis ducatur linea utrinque in Ampluli ite terminatu equedistanter linee terminanti primum clima, spatium contentum inter has duas lineas erit secundum clima. Et ad huius similitudinem signantur sequentia climata.
   Post hoc videndum est de motu stellarum fixarum quem habent praeter motum ab oriente in occidens, qui est communis omnibus corporibus celestibus. Verumtamen, ex eo quod dicuntur fixe, videtur quod non habent motum aliquem preter quam predictum. Sed sciendum est quod non dicuntur stelle fixe quia non habent motum alium, sed quoniam figura et ymago quam constituunt aliquot ex eis que dicuntur stelle fixe, semper retinentur ab eis. Verbi gratia, si tres stelle triangulum faciant, semper retinent eandem figuram. A fixione igitur figurarum quas faciunt, fixe dicuntur.
   Ptolomeus igitur in libro Almagesti posuit quod omnes stelle fixe et omnes auges planetarum moventur super polos zodiaci, et quod unaqueque describit in 100 annis unum gradum de circulo in quo situm est corpus stelle, descripto super polos zodiaci contra motum firmamenti. Et accidit per hanc viam Ptolomei quod aux solis et stelle que sunt in signis septemtrionalibus pervenirent in signa australia, fieretque regio habitata inhabitabilis. Quod patet per rationem superius dictam, qua ostenditur
per solis ecentricitatcm quod regio inter equinoctialem et paralellum australem est inhabitabilis.
   Thebit vero, qui operatus est super operationes Ptolomei, invenit per certa experimenta motum stellarum fixarum esse alium. Ad ymaginan dum igitur motum stellarum fixarum quem invenit Thebit, ymagincmur in celo zodiacum ex 12 signis constantem, sicut predictum est, et divisum in 4 partes per duo puncta equinoctialia et duo solstitialia. Incipientque aries et libra a punctis equinoctialibus, et cancer et capricornus a punctis solstitialibus. Diciturqucezodiacus iste zodiacus fixus. Eruntque 12 signa 12 spatia solum firmamenti. Sub firmamento autem est sphera stellarum fixarum. Ymaginemur iterum in sphera stellarum fixarum zodiacum alium numero a predicto, constantem ex 12 ymaginibus ex stellis fixis compositis. Ei hic circulus magis proprie dicitur zodiacus a zoas, quod est animal, propter ymagines animalium ex quibus constat.
   Principio igitur arietis zodiaci fixi centro posito et super ipsum circulo descripto, occupatis 8 gradibus et 37 minutis et super caput libre fixe huic circulo equali circulo descripto, ymaginemur caput arietis et libre ymaginum circumferri in duabus predictis circumferentiis duorum predictorum circulorum. Moventur igitur caput arietis et libre zodiaci ymaginum in duabus predictis circumferentiis: quando sunt in parte septemtrionali, caput arietis cum motu firmamenti caput vero libre contra motum firmamenti et quando sunt in parte australi movetur caput arietis contra motum firmamenti, caput vero libre cum motu firmamenti, in 12 annis unum gradum et duo minuta fere describendo. Quoniam igitur hii duo zodiaci sunt ita siti quod unus sub alio est, cum caput arietis mobilis erit in 19" minuto 5' gradus arietis fixi, erit caput libre mobilis in consimili loco libre fixe. Et curn caput arietis mobilis erit in 42" minuto 26' gradus piscium fixorum, erit caput libre mobilis in consimili loco virginis fixe.
   Caput vero cancri et capricorni ymaginum adheret in ecliptica progrediendo et regrediendo in ea. Cum enim caput arietis mobilis a predicto minuto piscium recedit, recedit ab ecliptica, et similiter caput libre mobilis in partem oppositam, nec veniat caput arietis ad eclipticam donec veniat ad predictum minutum arietis fixi. Verumtamen caput cancri mobilis fuit in consimili loco in ecliptica in geminis, cum caput arietis mobilis fuit in minuto predicto in piscibus, et cum caput arietis ascendit versus predictum minutum 5' gradus arietis fixi in circumferentia circuli predicti, caput cancri semper progreditur in ecliptica donec veniat in 19 minutum 5' gradus cancri, capite arietis perveniente in consimile minutum arietis fixi.
   Descendente igitur capite arietis iterum versus pisces in circumferentia predicta, retrocedit caput cancri in ecliptica eodem spatio quo progressum est. Et iste motus, quem sic ymaginati sumus in predictis circuli duobus, est motus totius sphere stellarum fixarum et augium omnium planetarum.
   Cursus vero lune est sub zodiaco. Verumtamen non est cursus eius directe sub ecliptica sicut est cursus solis, sed circulus lune secat eclipticam in duobus punctis oppositis, declinans ab eius circumferentia 5 gradibus Est autem circulus lune ecentricus sicut circulus solis. In circumferentia vero ecentrici est centrum circuli brevis quem devehit ecentricus. Sunt autem circulus brevis et ecentricus in superficie una. Centrum vero corporis lune est semper in circumferentia circuli brevis. Ecentricus itaque lune circumvolvitur super diametrum terre ab oriente in occidens motu continuo et uniformi; describit itaque centrum ecentrici motu predicto circulum circa centrum terre et centrum ecentrici semper est in circumferentia illius circuli.
   Centrum vero circuli brevis movetur econtrario ab occidente in oriens ita quod, si ducatur linea a centro terre per centrum circuli brevis in firmamentum, terminus linee motu equali movetur. Et is motus linee vocatur motus lune medius in celo.
   Et quotiens iste motus lune medius est in eodem puncto cum medio motu solis, centrum epicicli est in auge ecentrici lune. Separanturque statim aux ecentrici lune et centrum epicicli, et relinquitur motus medius solis in medio inter augem ecentrici et centrum epicicli equaliler distans ab utroque. Evenitque de necessitate quod cum medius motus lune opponitur medio motui solis, occurrit centrum epicicli augi ecentrici, separanturque ibi iterum. Et occurrunt sibi invicem cum iterum coniungitur medius motus lune medio motui solis. Ex quo patet quod centrum epicicli bis in uno mense describit ecentricum. Estque motus epicicli velocior motu ecentrici quantum est medius motus solis. Aliter enim non semper equaliter distarent a medio motu solis medius motus lune et aux ecentrici. Luna vero movetur in circumferentia sui epicicli, ita quod in superiori parte sui epicicli movetur ab oriente, scilicet cum firmamento, in occidens, et in parte inferiori ab occidente in oriens.
   Ecentricus lune, ut predictum est, secat eclipticam in duobus punctis oppositis. Vocaturque punctus per quem transit luna a parte australi ecliptice in partem septemtrionalem caput draconis, et punctus oppositus cauda draconis. Coniunctio enim duorum circulorum, eo quod facit figuram tortuosam, vocatur draco lune. Luna igitur existente in capite vel cauda vel prope caput vel caudam draconis, et sole in opposito ipsius, erit eclipsis lunc. Si enim removeatur ab altero nodorum plus 12 gradiblls non patietur eclipsim. Accidit enim eclipsis lunc per hoc quod ipsa transit per umbram terre que proicitur semper in oppositum solis. Cum enim sol sit corpus luminosum et terra corpus umbrosum et radii recti sint et sol sit maior terra, necesse est ut sol proiciat umbram figure piramidalis, et conus umbre terminetur e directo puncti oppositi soli in ecliptica. Cum ergo sol semper est sub ecliptica, sic conus umbre terre semper est sub ecliptica.
   Corpus vero lune corpus umbrosum est, et non habet lumen nisi a sole. Unde pars illa quam respicit sol semper est illuminata, reliqua vero umbrosa. Cum ergo currat luna inferior sole, cum sol et luna coniunguntur, pars lune que terram respicit tota est umbrosa. Cum ergo paulatim recedit a sole, incipit pars illa paulatim illuminari, quia radii solis paulatim eam attingunt. Et quanto plus a sole recedit luna, tanto pars eius terram respiciens plus est illuminata. Cumque venit luna in oppositum solis, tota medietas terram respiciens est illuminata, et tunc dicitur panselenos, quasi plena lumine. Deinde, sicut paulatim accedit versus solem, sic paulatim lumen decrescit in parte terre opposita.
   Luna igitur plena existenle in altero nodorum vel prope, cum tunc sil sub ecliptica vel prope eclipticam, necesseest ut transeat per umbram terre, et patietur defectum luminis aut tota aut secundum partem. Si vero multum removeatur ab altero nodorum in plenilunio, cum tunc removeatur ab ecliptica -- et conus umbre terre fertur sub ecliptica -- corpus lune non attinget umbram, sed a latere umbre pertransibit. Et ita non patietur luna defectum.
   Notandum quod crebriores sunt defectus lune quam solis propter diversitatem aspectus lune. Est autem diversitas aspectus lune arcus circuli magni transeuntis per cenith capitis interceptus inter verum locum lune et locum in visu apparentem. Verus locus lune est terminus linee ducte a centro terre per centrum corporis eius in firmamentum. Cum igitur terra ad lune circulum sensibilem habeat magnitudinem, linea recta ducta ab oculo videntis non existentis sub luna per centrum corporis lune in firmamento, secat predictam lineam in centro corporis lue, et terminatur alibi quam predicta linea, et locus ubi terminatur vocatur locus lune apparens.
   Areus vero inter hec duo loca comprehensus vocatur diversiias aspectus lune. Hec tame diversiatas aspecuts lune divisa est in diversitatem aspectus lune in longitudine et diversitatem nspeetus lune in Iatitudine. Et neutrum eorum est diversitas aspectus lune quam supra diximus. Has duas diversitates aspectus lune sic ymaginabinmur. Ymnginetur circulus ductus per verum locum lune eque distans ab ecliptica, si non sit verus locus lune in ecliptica. Si vero sit in ecliptica, ipsa erit circulus quem querimus. Et ducatur similiter alius circulus equedistans priori per locum lune apparentem. Deinde per polos orbis signorum transeant duo magni circuli, quorum alter transeat per verum locum lune et alter per locum lune apparentem. Intersecabunt se hii 4 circuli ita quod constituent quadrangulum ex 4 arcubus existcntibus inter sectiones.
   Arcus igitur circuli equedistanter ducti ecliptice per locum lune apparentem dicitur diversitas aspectus lune in longitudine. Arcus vero circuli transeuntis per polos orbis signorum interceptus inter duos circulos ductos equedistanter ecliptice dicitur diversitas aspectus lune in latitudine. Diversitas autem prima quam diximus est sicut diagonalis Imius quem prodixi mus quadranguli. Cum vero ita est quod ambo circuli ducti equedistanter linee ecliptice sunt simul loco, diversitas aspectus in latitudine nulla est. Cum vero accidit quod reliqui duo circuli sunt simul loco, diverssitas aspectus in longitudine nulla est.
   Ex hiis igitur patet quod quamvis coniungantur in puncto capitis vel caude vel propre caput vel caudam draconis, luna existente australi in regionibus septemtrionalibus non erit eclipsis solis, eo quod locus lune apparens erit tunc ex parte australi respectu ecliptice. Sed ad hoc quod esset eclipsis solis oporteret quod locus lune apparens esset simul cum loco solis vel quod distantia inter ipsa esset minor quantitate duorum semidiametrorum, scilicet solis et lune.  Cum igitur coninguntur sol et luna, luna existente septemtrionali, accidit eclipsis in regionibus septemtrionalibus.  Verumtamen non est necesse quod in omnibus, sed in hiis locis in quibus locus lune apparens in ecliptica vel propre eclipticam minus distat ab ea quam quantitate duorum semidiametrorum solis et lune.